Question

Für welche x ∈ ℝ konvergiert diese Reihe?

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{\frac{3}{2} \cdot i}}{\left((x-1)^{i+1}\right) \cdot(x+1)^{i}} \)

Comments

Zunächst könnte man den Bruch vereinfachen

(x - 1)^{1.5·i}/((x - 1)^{i + 1}·(x + 1)^i) = (x - 1)^{i/2 - 1} / (x + 1)^{i}

Jetzt könnte man denke ich schon mit den Konvergenzkriterien anfangen.

Kennst du da ein paar und kannst sie anwenden?

Schau sonst mal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Konvergenzkriterien

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Die vereinfachung hatte ich zum glück auch schon mal hingeschrieben .

Mein Problem liegt denke ich eher an der Vorstellung .
Warum bzw. welche Werte muss x annehmen , damit die Folge nicht divergiert , sondern konvergiert ...

wenn ich annehme x ist zB 2 komme ich auf sowas wie [1^{[i/2] -1}]/3^i]

bei noch größeren zahlen komme ich immer auf einen wert der zwar im zähler groß genug ist , aber im Nenner trotzdem immer größer ist ( als im zähler ) ...

Bei den Konvergenzkriterien habe ich mich auch schon im vorfeld umgesehen und entsprechende beispiele gesucht , aber ähnliche beispiele nicht entdeckt

Answer 1

Versuche den Konvergenzradius zu finden.


Nehmen wir an dass wir die Potenzreihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ haben.

Um den Konvergenzradius zu finden, berechnen wir den Grenzwert $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$$