Hallo,
da war ja ein Hinweis gegeben
Hinweis: Schreiben Sie die Reihe als Quadrat einer anderen Reihe.
$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^n} &= \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n}\right)^2\\ &= \left( \frac1{1-x}\right)^2 && \text{für }|x|\lt 1 \end{aligned}$$Die Summe ist das Quadrat einer geometrischen Reihe. Und die konvergiert genau dann, wenn \(|x|\lt 1\) ist.
Und wie genau kommt man darauf?
Den Hinweis lesen und dann überlegen, wie ein Polynom aussehen muss, dass das Quadrat des Polynoms zu $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^n} =1+2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$$wird. Dazu folgende Überlegung: wenn man ein Polynom mit sich selbst multipliziert, dann wird jedes Element mit jedem Element multipliziert $$\begin{array}{c|}& x^0& x^1& x^2& x^3& x^4\\ \hline x^0& 0& 1& 2& 3& 4\\ x^1& 1& 2& 3& 4& \\ x^2& 2& 3& 4& & \\ x^3& 3& 4& & & \\ x^4& 4& & & & \end{array}$$die Ergebnisse jeder Multiplikation trägt man in obige Tabelle ein. Jeder Koeffizient des Ergebnispolynoms berechnet sich aus der Summe der Ergebnisse in den Diagonalen von links unten nach rechts oben.
Und da die Anzahl dieser Felder in Richtung rechts unten jeweils um 1 steigt, müssen die Koeffizienten des Ausgangspolynoms jeweils \(1\) sein.
Gruß Werner
