Aloha :)
Bestimme zunächst das Flächenelement$$d\vec f=\frac{\partial\vec x}{\partial u}\times\frac{\partial\vec x}{\partial v}\,du\,dv=\begin{pmatrix}\cos v\\\sin v\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-u\sin v\\u\cos v\\1\end{pmatrix}\,du\,dv=\begin{pmatrix}\sin v\\-\cos v\\u\end{pmatrix}\,du\,dv$$
Davon brauchen wir den Betrag:$$df=\sqrt{1+u^2}\,du\,dv$$um das Integral für die Fläche zu formulieren:$$F=\int_Fdf=\int\limits_{u=0}^{1}\;\int\limits_{v=0}^{2\pi}\sqrt{1+u^2}\,du\,dv=2\pi\int\limits_{u=0}^1\sqrt{1+u^2}\,du$$
Das verbliebene Integral kannst du mit der Substitution \(u\coloneqq\tan x\) lösen oder mit partieller Integration. Ich finde partielle Integration hier einfacher:$$I(u)=\int\sqrt{1+u^2}\,du=\int\frac{1+u^2}{\sqrt{1+u^2}}\,du=\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}+\int u\cdot\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\,du$$$$\phantom{I(u)}=\operatorname{arsinh}(u)+u\cdot\sqrt{1+u^2}-\underbrace{\int1\cdot\sqrt{1+u^2}\,du}_{=I(u)}$$Das verbliebene Integral ist gleich dem Ausgansintegral, daher gilt$$\int\sqrt{1+u^2}\,du=\frac12\operatorname{arsinh}(u)+\frac12u\sqrt{1+u^2}$$
Damit haben wir die Fläche \(F\) bestimmt:$$F=2\pi\left[\frac12\operatorname{arsinh}(1)+\frac{1}{\sqrt2}-\frac12\operatorname{arsinh}(0)\right]$$$$\phantom F=2\pi\left(\frac12\ln(1+\sqrt2)+\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx7,2118$$
