S := aP + (1 − a)Q ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A.

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei eine Menge Ω und eine zugehörige σ-Algebra A. Zeigen Sie
(a) Für zwei beliebige Wahrscheinlichkeitsmaße P : A → R und Q : A → R, sowie
0 ≤ a ≤ 1 ist S := aP + (1 − a)Q ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A.
(b) Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P : A → R ist monoton wachsend in dem Sinne, dass
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B).

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Answer 1

Weise die Eigenschaften für ein Wahrscheinlichkeitsmaß nach. Das ist gar nicht schwierig. Zum Beispiel ist \(S(\Omega)=aP(\Omega)+(1-a)Q(\Omega)\). Nutze aus, dass \(P\) und \(Q\) Wahrscheinlichkeitsmaße sind.

Bei b) betrachte die disjunkte Zerlegung \(B=A\cup (B\setminus A)\) und wende den Additionssatz für disjunkte Ereignisse an. Beachte außerdem, dass \(P(E)\geq 0\) für alle Ereignisse \(E\) gilt.

Bei Schwierigkeiten, frage nach. :)