Formale Potenzreihe: ord(fg)=ord(f)+ord(g)

Question

Guten Tacho zusammen,

ich wollte mal fragen, ob meine Rechnung stimmt.

Ich habe hier die formale Potenzreihe

$$f=\sum \limits_{k=0}^{\infty}a_kx^{k}$$ und $$ord(f)=min({k}|a_{k}≠0)$$

Jetzt soll ich beweisen, dass gilt:

ord(fg)=ord(f)+ord(g)

Ich habe mich mal versucht, aber ich vermute einen Fehler:

Sei $$ord(f)=min({k}|a_{k}≠0)\text{ und }ord(g)=min(k'|a_{k'}≠0)\text{ . }$$ Dann:

$$ord(f)+ord(g)=min({k}|a_{k}≠0)\text{ + }min(k'|a_{k'}≠0)$$

Weiter gilt:

$$=min(k+k'|a_{k}≠0 \text{ und } a_{k'}≠0)=min(k+k'| a_{k}a_{k'}≠0)=ord(fg)$$

Weiß jemand ob das richtig ist:) ?

Comments

Muss es nicht max statt min sein?

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Wenn das Maximum endlich ist, wäre die Potenzreihe ein Polynom und dieses Maximum heißt Grad.

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Ah, danke für die Info

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Ja genau, das hat nichts mit dem Grad zu tun, deswegen ist es das Minimum und nicht das Maximum. Darüber bin ich auch gestolpert. Bitte entschuldigt die späte Antwort. Ich wollte jetzt was aufschreiben und es hier dann teilen.

Answer 1

Wenn f mit a_kx^k und g mit a_lx^l anfangen, dann fängt fg mit a_k+lx^k+l an.

Comments

Okay, es gilt:

$$ord(f)=min(k|a_{k}≠0)\text{ und }ord(g)=min(k'|a_{k'}≠0)$$

Also:

$$ord(fg)=ord((\sum \limits_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k})(\sum \limits_{k'=0}^{\infty}b_{k}x^{k}))$$

Wenn wir jetzt die Summen hinschreiben und ausmultiplizieren, dann erhalten wir:

$$ord(\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\sum \limits_{i+j=k}a_{i}b_{j})x^{k})=ord(a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+...)$$

Nun können wir uns das minimale k ansehen:

$$a_{0}b_{0}x^{0+0}$$

Wie soll es jetzt weiter gehen?

Ich glaube tatsächlich, dass wir jetzt fertig sind. Wenn wir f normal ausrechnen, dann haben wir $$x^{0}$$ als minimales k, analog für g. Wenn wir also f und g multiplizieren erhalten wir $$x^{0+0}$$, also wurde gezeigt, dass ord(f*g)=ord(f)+ord(g), oder?

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Nun können wir uns das minimale k ansehen:$$a_{0}b_{0}x^{0+0}$$.

aber wo ist etwas ≠ 0?

Was ist denn daran nicht zu Verstehen:

(ax^k+bx^k+1+...)(cx^l+dx^l+1+...) = acx^k+l+...