Riemannsches Lemma zeigen

Question

Riemann'sches Lemma
Sei \( I=[a, b] \subseteq \mathbb{R} \) und \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar. Definiere die Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( g(\alpha):=\int \limits_{a}^{b} f(x) \sin (\alpha x) \mathrm{d} x . \)
(a) Zeigen Sie, dass
\( g(\alpha)=-\frac{1}{\alpha}\left(f(b) \cos (\alpha b)-f(a) \cos (\alpha a)-\int \limits_{a}^{b} f^{\prime}(x) \cos (\alpha x) \mathrm{d} x\right) \)
für alle \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt.
(b) Folgern Sie, dass auch
\( \lim \limits_{\alpha \rightarrow \infty} g(\alpha)=\lim \limits_{\alpha \rightarrow-\infty} g(\alpha)=0 \)
gilt.

Problem/Ansatz: wie kann man das berechnen

Comments

Du kennst die Regel für partielle Integration?

Answer 1

(a) Berechne \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \sin (\alpha x)\, \mathrm{d} x\) mit partieller Integration.

(b) Zeige dass die Funktion

        \( \alpha \mapsto f(b) \cos (\alpha b)-f(a) \cos (\alpha a)-\int \limits_{a}^{b} f^{\prime}(x) \cos (\alpha x)\, \mathrm{d} x \)

beschränkt ist.