Aufgabe:
Riemannsches Lemma: Für jede Regelfunktion \( F:[a ; b] \rightarrow \mathbb{C} \) gilt
Beweis: a) Zunächst für eine Treppenfunktion \( F=\varphi \). Wir wählen eine Zerlegung \( a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b \) so, dafs \( \varphi \) auf jedem Teilintervall \( \left(x_{\nu-1} ; x_{\nu}\right) \) einen konstanten Wert \( c_{\nu} \) hat. Für \( p>0 \) gilt dann
| ∫\( \varphi \) (x)*sin(p*x)dx|= 1/p* |\sum c_v[cospx_v-1-cospx_v]|≤ 2/p*sum|c_v|
(Das Integral geht von a bis b und die Summe von v=1 bis n.)
Daraus folgt bereits die Behauptung im Fall \( F=\varphi \).
b) Sei jetzt \( F \) eine Regelfunktion auf \( [a ; b] . \) Zu jedem \( \varepsilon>0 \) gibt es eine Treppenfunktion \( \varphi \) mit \( |F(x)-\varphi(x)| \leq \varepsilon \) für alle \( x \in[a ; b] \). Damit gilt
|∫F(x)*sin p*x dx - ∫\( \varphi \)(x)sin p*x dx| ≤ Epsilon *|b-a|
Mit a) folgt daraus die Behauptung im allgemeinen Fall.
Problem: Hi, ich verstehe leider den Beweis von a) und b) nicht. Warum kann man in a) das Integral in die Summe umschreiben, also mir ist bewusst, dass so das Integral einer Treppenfunktion definiert ist, ich weiß jedoch nicht, warum da 1/p vor dem Betrag steht und cos in der Summe und auch nicht wie man auf 2/p * sum(IcvI) kommt. Bei b) verstehe ich nicht, warum man die Integrale abzieht und das kleiner/gleich Epsilon * Ib-aI sein soll. Kann mir da einer weiterhelfen ?
LG
