Berechnen Sie in welcher Höhe das Flugzeug die Turmspitze überfliegt.

Question

Aufgabe:

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug auf den Flughafen Köln-Bonn. Es fliegt mit gleichbleibender Geschwindigkeit und konstantem Kurs. In einem Koordinatensystem befindet sich der Flughafen in der \( \mathrm{x}_{1} \) - \( \mathrm{x}_{2} \)-Ebene. Die Flugzeugposition beträgt um 10:00 Uhr A \( (-7|-2| 1,5) \) und um 10:01 Uhr \( \mathrm{B}(-3,5|1| 1,25) \). Eine Längeneinheit entspricht \( 1 \mathrm{~km} \).
a. Einer der beiden Turmspitzen des Kölner Doms hat die Koordinaten \( \mathrm{T}(7|10| 0,16) \). Berechnen Sie in welcher Höhe das Flugzeug die Turmspitze überfliegt.
b. Berechnen Sie um welche Uhrzeit und an welchem Punkt das Flugzeug auf der Landebahn aufsetzt. Überprüfen Sie, ob der typische Gleitwinkel eines Flugzeuges beim Landeanflug von ca. \( 3^{\circ} \) eingehalten wird.
c. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs darf während des Landesanflugs nicht unter \( 275 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) betragen. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung eingehalten wird.

Ansatz:

a) ich habe die Strecke von der Kirchenspitze bis zum Flugzeug ausgerechnet. Also einfach AT. Davon habe ich dann einfach den Betrag ausgerechnet. Dies ist jedoch falsch und ich weiß nicht warum…

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe und die zwei weitere Aufgaben helfen, da ich nicht weiterkomme. Mir ist es wichtig zu verstehen, warum es so ist, da ich es auch für andere Aufgaben gebrauchen könnte .

Answer 1

Zu a): Es geht hier nicht um den Abstand des Flugzeuges von der Turmspitze, sondern um die Höhe, die das Flugzeug hat, wenn es über der Turmspitze hinwegfliegt. Das ist aber genau dann der Fall, wenn sich das Flugzeug im Punkt \((7|10|x_3)\) befindet. Die \(x_3\)-Koordinate ist dann die Höhe. Mache hier also eine Punktprobe mit dem von mir angegebenen Punkt und der Flugbahn des Flugzeuges.

Zu b): Das Flugzeug setzt auf der Landebahn auf, wenn die \(x_3\)-Koordinate 0 ist, da sich die Landebahn in der \(x_1x_2\)-Ebene befindet. Wenn du den Richtungsvektor nicht gekürzt hast, entspricht der Parameter der Zeit in Minuten. Berechne zudem den Winkel der Flugbahn mit der entsprechenden Winkelformel. Verwende dazu den Richtungsvektor der Flugbahn und denselben Vektor mit \(x_3\)-Koordinate 0. Dieser Vektor ist dann "parallel" zum Richtungsvektor, verläuft aber entlang der Landebahn.

Zu c): Berechne die zurückgelegte Strecke des Flugzeugs, indem du den Abstand der Punkte \(A\) und \(B\) ermittelst. Das ist die zurückgelegte Strecke in einer Minute. Rechne das in km/h um.

Comments

Aber ich guck doch dann nur ob der punkt auf der gerade liegt oder nicht?

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Ja, das tust du. Aber du weißt dann, welcher Punkt auf der Geraden liegen muss, damit das Flugzeug genau über der Turmspitze ist. Stell dir vor, du schaust von oben auf den Turm. Dann sind die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten gleich, nur die Höhe nicht. Deswegen kannst du aus diesem Punkt die Höhe ablesen, wenn die ersten zwei Koordinaten übereinstimmen.

Answer 2

a)

AB = B - A = [-3.5, 1, 1.25] - [-7, -2, 1.5] = [3.5, 3, -0.25]

T' = A + t·AB = [-7, -2, 1.5] + t·[3.5, 3, -0.25] = [7, 10, z] → t = 4 ∧ z = 0.5

Das Flugzeug befindet sich beim Überfliegen der Turmspitze in einer Hohe von 500 m.

b)

L = A + t·AB = [-7, -2, 1.5] + t·[3.5, 3, -0.25] = [x, y, 0] → t = 6 ∧ x = 14 ∧ y = 16

Das Flugzeug setzt um 10:06 Uhr am Punkt L(14 | 16 | 0) auf dem Flughafen auf.

α = ARCSIN(|[3.5, 3, -0.25]·[0, 0, 1]| / |[3.5, 3, -0.25]|) = 3.10°

Der Gleitwinkel lag etwas höher.

c)

|[3.5, 3, -0.25]| = 4.617 km/min = 277.0 km/h

Die Landegeschwindigkeit betrug im Durchschnitt 277 km/h.