Ungleichung aus der Numerik zeigen

Question

Ich soll folgende Ungleichung zeigen:

\( \left( \frac{cond(A)-1}{cond(A)+1}  \right)^k \)  ≤ ε, wenn k ≥ \( \frac{1}{2}\)cond(A)*log(\( \frac{1}{ε} \) ) ist.

Als Hinweis wurde gegeben, dass die Funktion f(x) = ln(\( \frac{x+1}{x-1} \)) + \( \frac{2}{x} \) für x in (0,∞) nicht negativ ist.

Ich komme leider überhaupt nicht weiter und hoffe deshalb auf Hilfe :)

Comments

Poste die Aufgabe mal vollständig im Original.

Answer 1

Den Hinweis zu zeigen, sollte nicht das Problem sein. Warum aber der Hinweis zur Lösung führt, muss man erst einmal zeigen. Du musst also herausfinden, was der Hinweis mit der eigentlich Ungleichung zu tun hat.

Der Einfachheit halber würde ich \(x\,:\!=\mathrm{cond}(A)\) definieren.

Wende dann mal den Logarithmus auf die zu zeigende Ungleichung an, dann musst du zeigen:

\(k\ln(\frac{x-1}{x+1})\leq \ln(\varepsilon)\) für \(k\geq -\frac{1}{2}x\ln(\varepsilon)\).

Für die zweite Ungleichung wurde das Logarithmusgesetz \(\ln(\frac{1}{a})=-\ln(a)\) benutzt.

Du siehst, dass das Ganze nun schon in Richtung des Hinweises geht. Versuche mal, ob du hier weiterkommst.

Comments

Die Hilfs-Ungleiching ist ja trivial - für x>1, für x<=1 ist sie nicht definiert. Frage ist ob aus einer Trivialität etwas Interessantes folgen kann.

Vielleicht eher -2/x?

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Es scheint mir, dass es mit -2/x im Hinweis passender ist...

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Vielen Dank, ich habe mich vertippt, es heißt -2/x. Leider stehe ich immer noch noch auf dem Schlauch, ich sehe noch nicht wie man den Hinweis anwenden soll, da Zähler und Nenner vertauscht sind…

Answer 2

Ich gehe von mind. einem weiteren Tippfehler aus, dass nämlich bei beiden Logarithmen \(\ln\) gemeint ist. Was ist denn so schwer daran, die Aufgabe im Original zu posten oder vollständig korrekt abzuschreiben und den Helfern damit einige Arbeit zu ersparen?

Sei \(x:=cond(A)\). Dann überleg Dir, dass \(-k\ln\frac{x+1}{x-1} \le \ln \varepsilon\) zu zeigen ist (und warum man \(\ln\) auf beiden Seiten anwenden darf, ich gehe von (weitere fehlende Angabe) \(\varepsilon >0\) aus).

Dann ist: \(-k\ln\frac{x+1}{x-1} =-k(f(x)+\frac2x)\). Wende darauf den Hinweis und die Voraussetzung an \(k\) an und das Ergebnis steht sofort da.

Jedenfalls im Fall \(k\ge 0\). Im Fall \(\varepsilon >1\) ist das nicht gesichert. Den Fall überleg mal weiter. Eventuell fehlt aber auch hier wieder eine weitere Angabe.

Comments

Logischerweise ist  ε >0. In der Aufgabenstellung steht "log" und "ln". Ich müsste jedoch zeigen, dass  \( k\ln\frac{x-1}{x+1} \) ≤ ε ist. Die Aufgabenstellung bringt auch nichts weiter, da bis hier schon Umformungen durchgeführt wurden.

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Hast Du die Zeile mit "überleg Dir" gelesen und die Logarithmenregeln wiederholt (steht auch in der anderen Antwort...)?

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Ich habe es mir schon überlegt, sehe jedoch keinen Weg wie man den Bruch so umdrehen könnte, dass das gewünschte Ergebnis herauskommt.

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Die Regel lautet, wie schon erwähnt: \(\ln \frac1a=-\ln a\). Wende die an. Was der Kehrwert eines Bruchs ist, ist hoffentlich klar.

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Vielen Dank, ich stand sehr auf dem Schlauch...