Momente einer geometrischen Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Im Buch: Probability Essentials Second Edition bin ich auf die folgende Gleichheit gestoßen

$$\text{ Sei X Geo(p) verteilt}$$$$E[X(X-1)....(x-r+1)]=\frac{r!p^r}{(1-p)^r}$$

Wenn ich jetzt zum Beispiel die ersten 4 Momente$$E[X^j] ~~~~j\in (1,..,4)$$ ausrechnen möchte mit Hilfe der vorgegebenen Gleichheit, wird es doch trotzdem sehr unübersichtlich. Ich glaube ich mache das anhand der vorgegebenen Gleichung nicht richtig :/ Wäre für eine Rechnung anhand zum Beispiel des 2. Moment dankbar :)

Answer 1

Fang mit \(j=2\) an:

Es ist \(X(X-1)=X^2-X\) (also \(r=0\)).

Betrachte also \(E[X^2]=E[X^2-X+X]=E[X(X-1)]+E[X]\).

Analog kannst du dann für \(j=3\) und \(j=4\) vorgehen.

Comments

Entschuldige für die späte Rückmeldung. Ich danke dir für die Hilfe :)

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Sehr gerne. Ich hoffe, du bekommst es damit hin. :)