wofür benötige ich bei Exponentialfunktion den natürlichen Logarithmus (ln)?

Question

Aufgabe:

… wofür benötige ich bei Exponentialfunktion den natürlichen Logarithmus (ln)?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Um an den Exponenten heranzukommen:

e^x= 5

x= ln5

Es gilt:

e^x = a

lne^x = lna

x*lne= lna , lne= 1

x= lna

allgemein:

a^x= b

x*lna= lnb

x= lnb/lna

Answer 2

ln ist die Umkehroperation von e^

ln(e^a) = a

Answer 3

wofür benötige ich bei Exponentialfunktion den natürlichen Logarithmus (ln)?

Um bei einer Gleichung zum Exponenten aufzulösen.

Z.B.

y = a·e^{k·x} + b
y - b = a·e^{k·x}
(y - b)/a = e^{k·x}
LN((y - b)/a) = k·x
LN((y - b)/a)/k = x

Answer 4

Außerdem ist der natürliche Logarithmus hilfreich, um "normale" Exponentialfunktionen in die e-Funktion umwandeln zu können, was das Ableiten solcher Funktionen vereinfacht.

Es gilt nämlich \(a^x=(\mathrm{e}^{\ln(a)})^x=\mathrm{e}^{\ln(a)x}\) (wegen \(a=\mathrm{e}^{\ln(a)}\)).

Das lässt sich nun mit Hilfe der Kettenregel vergleichsweise leicht ableiten.