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Aufgabe:

… wofür benötige ich bei Exponentialfunktion den natürlichen Logarithmus (ln)?


Problem/Ansatz:

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Um an den Exponenten heranzukommen:

ex= 5

x= ln5

Es gilt:

ex = a

lnex = lna

x*lne= lna , lne= 1

x= lna

allgemein:

ax= b

x*lna= lnb

x= lnb/lna

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ln ist die Umkehroperation von e^

ln(ea) = a

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wofür benötige ich bei Exponentialfunktion den natürlichen Logarithmus (ln)?

Um bei einer Gleichung zum Exponenten aufzulösen.

Z.B.

y = a·ek·x + b
y - b = a·ek·x
(y - b)/a = ek·x
LN((y - b)/a) = k·x
LN((y - b)/a)/k = x

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Außerdem ist der natürliche Logarithmus hilfreich, um "normale" Exponentialfunktionen in die e-Funktion umwandeln zu können, was das Ableiten solcher Funktionen vereinfacht.

Es gilt nämlich ax=(eln(a))x=eln(a)xa^x=(\mathrm{e}^{\ln(a)})^x=\mathrm{e}^{\ln(a)x} (wegen a=eln(a)a=\mathrm{e}^{\ln(a)}).

Das lässt sich nun mit Hilfe der Kettenregel vergleichsweise leicht ableiten.

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