A, B, C und D am Pilsensee

Question

Aufgabe:

Am Pilsensee in Oberbayern treffen sich die die Spieler A (Aaron) und D (Debora). Sie haben einen handelsüblichen (seitenflächenkongruenten, mit Augenzahl 1 bis 6 versehenen, äquiprobablen) Würfel C (cube) und eine Banane B dabei. C wird zweimal geworfen. Wenn die höchste Augenzahl 1, 2, 3 oder 4 ist, bekommt A die B, wenn die höchste Augenzahl 5 oder 6 ist, gewinnt D die B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A?

Problem/Ansatz:

mögliche Ereignisse, günstige Ereignisse

Answer 1

P(A gewinnt) = (4/6)^2 = 4/9

P(D gewinnt) = 1 - P(A gewinnt) = 5/9

Comments

Hier noch eine Antwort von ChatGPT

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Spieler A die Banane gewinnt, müssen wir die möglichen Ergebnisse von zwei Würfen eines fairen sechsseitigen Würfels betrachten und die Ereignisse analysieren.

Zuerst berechnen wir die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beim zweimaligen Werfen eines Würfels. Jeder Wurf hat 6 mögliche Ergebnisse, also gibt es insgesamt:
\[ 6 \times 6 = 36 \]
mögliche Ergebnisse.

Nun betrachten wir die Bedingung, dass A die Banane gewinnt, wenn die höchste Augenzahl 1, 2, 3 oder 4 ist. Das bedeutet, dass D die Banane gewinnt, wenn die höchste Augenzahl 5 oder 6 ist. Wir zählen die günstigen Ereignisse für A und für D.

1. **Die höchste Augenzahl ist 1, 2, 3 oder 4**:
  - Wenn die höchste Augenzahl 1 ist, dann können beide Würfe nur 1 sein: \((1,1)\). Dies ist 1 mögliches Ergebnis.
  - Wenn die höchste Augenzahl 2 ist, dann können die Würfe (1,2), (2,1) und (2,2) sein: \((1,2), (2,1), (2,2)\). Dies sind 3 mögliche Ergebnisse.
  - Wenn die höchste Augenzahl 3 ist, dann können die Würfe (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) sein: \((1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\). Dies sind 5 mögliche Ergebnisse.
  - Wenn die höchste Augenzahl 4 ist, dann können die Würfe (1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) sein: \((1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)\). Dies sind 7 mögliche Ergebnisse.

Die Summe der günstigen Ergebnisse für A ist:
\[ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \]

2. **Die höchste Augenzahl ist 5 oder 6**:
  - Wenn die höchste Augenzahl 5 ist, dann können die Würfe (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5) sein: \((1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)\). Dies sind 9 mögliche Ergebnisse.
  - Wenn die höchste Augenzahl 6 ist, dann können die Würfe (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) sein: \((1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\). Dies sind 11 mögliche Ergebnisse.

Die Summe der günstigen Ergebnisse für D ist:
\[ 9 + 11 = 20 \]

Da alle 36 möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass A die Banane gewinnt, das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu allen möglichen Ergebnissen:
\[ \text{Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \]

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass A die Banane gewinnt, \(\boxed{\frac{4}{9}}\) oder etwa 44,44%.

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Die Pointe dabei: Habe die Aufgabe, im Biergartensetting, einer Gruppe promovierter Okonomen erzählt. Ein fahrlässiges Unterfangen. Der Alphamensch (stellt seine herausragende volkswirtschaftliche Expertise "ausgewählten Entscheidungsträgern in Politik und Wirtschaft" zur Verfügung und verschweigt das auch in den Medien nicht) machte klar, dass man die 4/6 für A auf 2/3 kürzen kann.

Der Alphamensch wurde vom Plapperbot überrundet.

Aber wir sind ja diskret.