Steigung zwei Graphen

Question

Aufgabe:

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f(x) = 2x^2 +2 dieselbe Steigung wie der Graph g mit g(x) = x^3–4x-1

Problem/Ansatz

Ich habe die erste Ableitung gebildet und die beiden Graphen gleichgesetzt. Aber der GTR zeigt mir eine andere Stelle als das was ich gerechnet habe

Comments

Dann zeig, was du gerechnet hast. Ohne deine Rechnung können wir dir ja schlecht sagen, wo das Problem liegt.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { b) } f(x)=2 x^{2}+2 \\ g(x)=x^{3}-4 x-1 \\ f^{\prime}(x)=4 x \\ g^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 \\ f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \\ 4 x=3 x^{2}-4 \quad 1-4 x \\ 0=3 x^{2}-4 x-4 \quad 1: 3 \\ 0=x^{2}-\frac{4}{3} x-\frac{4}{3} \\ p / q x_{1,2}=\frac{\frac{4}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}} \\ x_{1,2}=\frac{2}{3} \pm \frac{4}{3} \quad x_{1}=2 \quad x_{2}=-\frac{2}{3} \\\end{array} \)

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ist doch alles richtig! An den beiden Stellen haben beide Funktionen die gleiche Steigung.

In der Abbildung siehst du beispielhaft die parallelen Tangenten an der Stelle x=2.

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Text erkannt:

Trace
Zoom
le Window
Sketch
GSolv
GHI
F1
\( =2 \)
F3
F4
55
56
PRGM
SA UP

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Aber warum zeigt der GTR was anderes

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Es war nie die Rede davon, den Schnittpunkt beider Graphen zu bestimmen. Siehe die Abbildung in meinem andern Kommentar.

Answer 1

Du musst nicht beide Graphen gleichsetzen, sondern beide Ableitungen.

Und dann musst du die entstandene quadratische Gleichung fehlerfrei lösen.

Hattest du die Gleichung 4x=3x²-4 erhalten?

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { b) } f(x)=2 x^{2}+2 \\ g(x)=x^{3}-4 x-1 \\ f^{\prime}(x)=4 x \\ g^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 \\ f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \\ 4 x=3 x^{2}-4 \quad 1-4 x \\ 0=3 x^{2}-4 x-4 \quad 1: 3 \\ 0=x^{2}-\frac{4}{3} x-\frac{4}{3} \\ p / q x_{1,2}=\frac{\frac{4}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}} \\ x_{1,2}=\frac{2}{3} \pm \frac{4}{3} \quad x_{1}=2 \quad x_{2}=-\frac{2}{3} \\\end{array} \)

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Ja genau das habe ich raus

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Ein schönes Beispiel dafür, dass Hilfsmittel nicht immer gut sind, wenn man sie falsch anwendet. ;)

Answer 2

f(x) = 2x^2 + 2
f'(x) = 4x

g(x) = x^3 - 4x - 1
g'(x) = 3x^2 - 4

f'(x) = g'(x) 
3x^2 - 4 = 4x
3x^2 - 4x - 4 = 0 → x = 2 oder x = -2/3

Beim GTR wird dir die Stelle angezeigt, bei der die Funktionswerte gleich sind f(x) = g(x) und nicht wo die Ableitungen gleich sind.

~plot~ 2x^2+2;x^3-4x-1;x=-2/3;x=2;[[-3|3|-5|12]] ~plot~

An den eingezeichneten Stellen verlaufen die Tangenten parallel.