Also müsstest du es für das Lebesgue Integral zeigen, dann via der normalen Jensenungleichung für Indikatorfunktionen zeigen und danach mittels passender Konvergenzsätze den allgemeinen Satz schliessen.
Für Riemann Integrale ist deine Idee richtig, mittels (hier habe ich angenommen, dass der Wertebereich \([0, 1]\) ist)
\(\begin{aligned} \int_{ 0}^{ 1} f( x) \, dx = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ n} \sum_{ k = 1}^{ n} f\Bigl( \frac{ k }{ n} \Bigr). \end{aligned}\)
Du benutzt dann die Stetigkeit von \(\varphi\) um den Limes rauszuziehen und wendest dann die obige diskrete Version der Jensennschen Ungleichung an.
Für den allgemeinen Fall stimmt die Aussage, so wie du sie hingeschrieben hast, nicht, es gilt viel eher
\( \begin{aligned} \varphi \biggl( \frac{1}{ b - a} \int_{ a}^{ b} f( t)\, dt \biggr) \leqslant \frac{1}{ b - a} \int_{ a}^{ b} \varphi ( f( t) ) \, dt \end{aligned}.\) Sie folgt dann entweder aus dem obigen Fall, mittels \(g(t) = f(a + t(b - a))\) oder indem man die Partition oben einfach als \(\{a + k(b - a)/n\}_{1\leqslant k\leqslant n}\) wählt.