Zeigen Sie, dass die Jensensche Ungleichung für Integrale gilt.

Question

Text erkannt:

(b) Sei nun \( f \in \mathcal{R}(a, b) \) und \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) konvex und stetig. Zeigen Sie, dass
\( \varphi\left(\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \leq \int \limits_{a}^{b} \varphi \circ f(x) \mathrm{d} x . \)

Text erkannt:

\( \varphi\left(\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} y_{k}\right) \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \varphi\left(y_{k}\right) \).

Aufgabe:

Ich soll die Jensensche Ungleichung für Integrale zeigen. Dazu wurde die Gleichung ,welche unter der Aufgabe zu sehen ist,für die Gewichte 1/n schon beweisen.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es, die allgemeine Jensensche Ungleichung zu nehmen und als Gewichte w_K einfach \( \frac{Δ(x_K)}{b-a} \) zu nehmen. Die Integrale können über den Grenzwert der Riemannsumme umgeschrieben werden. Dann könnte ja die Ungleichung angewandt werden, wobei dann aber der Vorfaktor \( \frac{1}{b-a} \) des Integrals in der Funktion Probleme macht. Denn durch Äquivalenzumformung kriegt man ja nur das \( \frac{1}{b-a} \) aus der rechten Seite, in die linke Seite aber dürfte das ja nicht reingezogen werden. Außerdem wurde die allgemeine Jensensche Ungleichung gar nicht bewiesen, dementsprechend ist die Nutzung gar nicht erlaubt. Wie könnte man die Ungleichung für \( \frac{1}{n} \) zur Lösung nutzen? Es gibt bestimmt irgendeinen Trick über geschicktes Umschreiben der Integrale in Riemannsummen und über die Nutzung der Stetigkeit. Ich weiß nur leider gar nicht wie.

Answer 1

Also müsstest du es für das Lebesgue Integral zeigen, dann via der normalen Jensenungleichung für Indikatorfunktionen zeigen und danach mittels passender Konvergenzsätze den allgemeinen Satz schliessen.

Für Riemann Integrale ist deine Idee richtig, mittels (hier habe ich angenommen, dass der Wertebereich \([0, 1]\) ist)

\(\begin{aligned} \int_{ 0}^{ 1} f( x) \, dx = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ n} \sum_{ k = 1}^{ n} f\Bigl( \frac{ k }{ n} \Bigr). \end{aligned}\)

Du benutzt dann die Stetigkeit von \(\varphi\) um den Limes rauszuziehen und wendest dann die obige diskrete Version der Jensennschen Ungleichung an.

Für den allgemeinen Fall stimmt die Aussage, so wie du sie hingeschrieben hast, nicht, es gilt viel eher

\( \begin{aligned} \varphi \biggl( \frac{1}{  b - a} \int_{ a}^{ b} f( t)\, dt \biggr) \leqslant \frac{1}{ b - a} \int_{ a}^{ b} \varphi ( f( t) ) \, dt \end{aligned}.\) Sie folgt dann entweder aus dem obigen Fall, mittels \(g(t) = f(a + t(b - a))\) oder indem man die Partition oben einfach als \(\{a + k(b - a)/n\}_{1\leqslant k\leqslant n}\) wählt.

Comments

Danke für dein Hilfe, so zeigt sich das natürlich leicht. Aber eine Frage noch. Deiner Formulierung geht ja voraus,  dass du eine Zerlegung wählst. Ich sehe aber noch nicht ganz wie. Anscheinend ja \( \frac{k(b-a)}{n} \) aber wieso wird Δx_k dann zu \( \frac{1}{n} \) ?

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Ich bearbeite es kurz.

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Okay, aber ist der Beweis unter dieser Annahme gültig und muss man das annehmen, oder ist das nur eine geschickte Zerlegung um den Beweis erbringen zu können?

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Habe es kurz berichtigt, die Aussage war so, wie du sie in deiner Frage formuliert hast, nicht richtig.

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Okay, wieso folgt die allgemeine Aussage, nachdem man die Funktion für den Bereich [0,1] definiert hat? Die Ungleichung gilt also ohne den Vorfaktor 1/(b-a) im Allgemeinen nicht, aber gibt es nicht irgendeine Version dieser Ungleichung auch ohne den Vorfaktor? Ich glaube sowas nämlich schon mal gesehen zu haben.

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Wie gesagt, wenn das Interval, auf welchem deine Funktion definiert ist, \([0, 1]\) ist, dann gibt es keinen Vorfaktor.

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Zu deiner anderen Frage: Wir haben
\(\begin{aligned}   \varphi \biggl( \frac{1}{ b - a} \int_{ a}^{ b} f( t) \, dt   \biggr) &= \varphi \biggl( \int_{ 0}^{ 1} g( t) \, dt \biggr)   \\&\leqslant\int_{ 0}^{ 1} \varphi ( g( t) ) \, dt= \frac{1}{ b - a} \int_{ a}^{ b} \varphi ( f( t))\,dt\end{aligned}\)

mittels der Substitutionsformel für das Riemann Integral.

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Das wäre doch dann schon der gesamte Beweis für beide Fälle einmal für [0,1] und für [a,b], wenn man g(t) so wie in deiner ersten Antwort definiert, oder?

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Mal angenommen man würde die Ungleichung für [a,b] zeigen wollen, indem man die Hilfsungleichung nutzt und die Partition so wie oben definiert. Dann wäre doch Δx_k = \( \frac{b-a}{n} \) und in der Summe gäbe es dann doch wieder Probleme , da (b-a) noch dasteht.

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Zu meiner vorletzten Aussage, das ist falsch. Dadurch beweist man ja die Gültigkeit der allgemeinen Gleichung für [a,b] über die Gültigkeit der Gleichung für [0,1], welche wiederum über die Definition von g(t) und der Hilfsungleichung bewiesen werden kann, oder?

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Ich muss nochmal fragen,

kannst du mir vielleicht nochmal erklären, wie man aus dem obigen Fall und g(t) auf die Ungleichung mit dem Vorfaktor kommt?

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In meinem letzten Kommentar habe ich es erklärt. Du machst die Variablensubstitution \(u = a + t(b - a)\).

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Ja, habe es gemacht und den Fall für [0,1] genutzt. Eine sehr elegante Methode wie ich finde. Danke für deine Mühe und die Tipps.