Hallo döschwo,
zunächst mal: vielen Dank für diese Aufgabe und der Kontext der Aufgabe würde mich auch interessieren.
Die Ellipse mit maximalen Flächeninhalt von \(A_{\max} \approx 7,46\text{FE}\) sieht etwa so aus:
und die mit minimaler Exzentrität von \(\epsilon_{\min} \approx 0,616\) sieht so aus:
Die Ergebnisse habe ich zeichnerisch durch Ausmessen gewonnen. Das verwendete Tool ist Cinderella.
Das Vorgehen war wie folgt:
man wähle einen Punkt \(F_1\) innerhalb des Vierecks mit der Eigenschaft $$\angle DF_1A + \angle BF_1C = \pi$$dann spiegelt man \(F_1\) an den vier Seiten und erhält \(F_a\), \(F_b\), \(F_c\) und \(F_d\). Der Mittelpunkt des Kreises (grün), der durch alle vier gespiegelten Punkte verläuft, ist \(F_2\) der zweite Brennpunkt der Ellipse. Mit$$|F_2F_c| = 2a, \quad |F_1F_2| = 2e\\ b = \sqrt{a^2-e^2}$$sind die Halbachsen \(a\) und \(b\) der Ellipse gegeben und daraus lassen sich ihre Exzentrität und Fläche berechnen.
Die lila gestrichelten Kurven sind die Ortslinien, auf denen sich die Brennpunkte \(F_{1,2}\) der eingeschriebenen Ellipse befinden können. Dann variiert man die Position von \(F_1\) solange bis sich entweder bei \(\epsilon\) ein Minimum oder bei \(A\) ein Maximum einstellt.
Gruß Werner
