Aufgabe 1: Durch einen Funktionsgraphen gegebene Fläche Wir betrachten die Fläche \( S \), die durch den Graphen der Funktion
\(h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x, y):=2-x^{2}-y^{2}\)
über der Kreisscheibe
\(B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}\)
gegeben ist.
a) Berechnen Sie die Oberfläche \( O(S) \) des Graphen \( S \) der Funktion \( h \) über der Kreisscheibe \( B \).
b) Es sei nun zusätzlich die Belegungsfunktion
\(f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y, z):=z\)
gegeben. Berechnen Sie das Oberflächenintegral erster Art \( \iint_{S} f \) do von \( f \) über der Fläche \( S \).
Ansatz:
\(\begin{array}{l}h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x, y):=2-x^{2}-y^{2} \\B:=\left\{(x, y)\in mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}\end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}O(s)=S S_{s} 1 d o=S S_{B}\left\|S_{u}(u, v) \times S_{v}(u, v)\right\| d(u, v) \\s: B \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad s(u, v):=\left(\begin{array}{c}u \\v \\{n(u, v)}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u \\v \\2-u^{2}-v^{2}\end{array}\right) \\s_{u}(u, v) \times s_{v}(u, v) \\\frac{\partial s}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial s}{\partial v}(u, v)=\left(\begin{array}{c}1 \\0 \\-2 u\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}0 \\1 \\-2 v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \cdot(-2 v)-(-2 u) \cdot 1 \\-2 u \cdot 0-1 \cdot(-2 v) \\1 \cdot 1-0 \cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 u \\2 v \\1\end{array}\right) \\\left\|s_{u}(u, v) \times s_{v}(u, v)\right\|=\sqrt{(2 u)^{2}+(2 v)^{2}+1^{2}}\end{array}\)
\(\begin{aligned}O(S) & =\iint_{B} \sqrt{(2 u)^{2}+(2 v)^{2}+1^{2}} d(u, v)=\int \limits_{r=0}^{2 \pi} \int \limits_{r=0}^{\sqrt{2}} \sqrt{4 u^{2}+4 v^{2}+1} d(u, v)=\int \limits_{p=0}^{2 \pi} \int \limits_{r=0}^{\sqrt{2}} \sqrt{1+4 r^{2}} r d r d \rho \\& =\int \limits_{0}^{2 \pi}\left[\frac{1}{12}\left(1+4 r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\sqrt{2}} d \rho=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\frac{1}{12}\left(1+4 \sqrt{2}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}\left(1+4 \cdot 0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) d \rho=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\frac{27}{12}-\frac{1}{12}\right) d \rho \\& =\left[\frac{13}{6} \rho\right]_{0}^{2 \pi}=\frac{13}{3} \pi\end{aligned}\)
Das ist mein Ansatz zur a). Ich weiß allerdings nicht, ob das so richtig ist. Bei der b) habe ich keinen Ansatz. Würde mich über Unterstützung freuen!
Gruß Martin
