Bei welchem Anteil der Produktionsstücke liegt X unter 100?

Question

Das quantitative Merkmal X von Produktionsstücken kann als normalverteilt mit den Parametern μ = 100 und σ = 20 angesehen werden. a) Bei welchem Anteil der Produktionsstücke liegt X unter 100?

Die Antwort ist 0,5.

Kann mir jemand erklären wie man auf die Lösung kommt ?

Answer 1

Bei einer normalverteilten Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Merkmal unterhalb (oder oberhalb) des Erwartungswertes liegt, stets 0,5. Vergleiche die Fläche unter der Dichtefunktion der Normalverteilung. Das ist genau die halbe Fläche bis zum Erwartungswert.

Answer 2

Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat die Form einer Gausschen Glockenkurve die Achsensymmetrisch zu einer parallelen zur y-Achse ist, die die x-Achse beim Erwartungswert schneidet.

~plot~ e^(-(x-100)^2/800)/sqrt(800*pi);x=100;[[0|200|-0.0001|0.03]] ~plot~

Daher liegen 50% der Ausprägungen unter und 50% über dem Erwartungswert.