Aufgabe:
Sei (an)n∈N eine monoton fallende Nullfolge nichtnegative reeller Zahlen.
i) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑unendlichk=1 ak genau dann konvergent ist, wenn die∑unendlichk=1 2ka2k konvergent ist (der Index ist 2k).
Problem/Ansatz:
Um die Konvergenz der ersten Reihe aus der zweiten Reihe zu schlussfolgern, ist es hinreichend zu zeigen, dass die zweite Reihe eine Majorante der ersten Reihe ist. Zusätzlich muss gezeigt werden dass die zweite Reihe konvergiert, wenn wir voraussetzen, dass die erste Reihe konvergiert.
Aus der Monotonie der Folge erhalten wir
a3≤a2≤a1
2a8≤a5+a6+a7+a8≤4a4
2k a2k+1≤∑2^(k+1)n=2k+1 an≤2k a2k
Falls es nicht klar erkennbar ist, auf der linken Seite ist 2k+1der Index und die Summe läuft von n= 2k+1 bis 2k+1und auf der rechten Seite ist der Index 2k .Ich will nun aus der linken Seite der Ungleichung die ⇒ und aus der rechten Seite der Ungleichung die ⇐ der Behauptung zeigen, weiß aber nicht genau wie ich das machen soll. Dementsprechend wäre ich hier für jede Hilfe dankbar.