Folgerung aus dem Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

Sei (an)n∈N eine monoton fallende Nullfolge nichtnegative reeller Zahlen.

i) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑^unendlich_k=1 a_k genau dann konvergent ist, wenn die∑^unendlich_k=1 2^ka₂^k konvergent ist (der Index ist 2^k).

Problem/Ansatz:

Um die Konvergenz der ersten Reihe aus der zweiten Reihe zu schlussfolgern, ist es hinreichend zu zeigen, dass die zweite Reihe eine Majorante der ersten Reihe ist. Zusätzlich muss gezeigt werden dass die zweite Reihe konvergiert, wenn wir voraussetzen, dass die erste Reihe konvergiert.

Aus der Monotonie der Folge erhalten wir

a₃≤a₂≤a₁

2a₈≤a₅+a₆+a₇+a₈≤4a₄

2^k a₂k+1≤∑^{2^(k+1)}_n=2k+1 a_n≤2^k a₂k

Falls es nicht klar erkennbar ist, auf der linken Seite ist 2^k+1der Index und die Summe läuft von n= 2^k+1 bis 2^k+1und auf der rechten Seite ist der Index 2^k .Ich will nun aus der linken Seite der Ungleichung die ⇒ und aus der rechten Seite der Ungleichung die ⇐ der Behauptung zeigen, weiß aber nicht genau wie ich das machen soll. Dementsprechend wäre ich hier für jede Hilfe dankbar.

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