0 Daumen
1,5k Aufrufe

in der Aufgabe soll ich bestimmen ob die Reihe Bild Mathematikkonvergent oder divergent ist.

Dies Wäre mein Lösungsweg :

$$ \frac { \sqrt { n-1 }  }{ { n }^{ 2 }+1 } \le \frac { n-1 }{ { n }^{ 2 }+1 } \le \frac { n }{ { n }^{ 2 }+1 } \le \frac { n }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ n } $$

Das würde doch bedeutet dass die Summe divergent ist oder nicht ?

Die Lösungen sagen die Reihe ist Konvergent.

Avatar von

Deine Abschatzung ist richtig, aber wertlos. Es folgt auch nichts daraus, ausser Reihensumme ≤ ∞. Das gilt aber für jede Reihe mit nichtnegativen Gliedern. :)

Nicht nur für diese.

\(1-1+1-1+-\cdots\le\infty\) wuerde ich z.B. nicht behaupten wollen.

Warum nicht? Gilt denn das Gegenteil?

Mein Standpunkt waere, dass diese Reihe keine Summe hat. Da kann ich dann auch keine Abschaetzungen für die Summe anschreiben. Bei Reihen mit nichtnegativen Gliedern ist das anders, die haben immer eine Summe. Ich kann dann \(\sum a_n\le\infty\) nicht bloss hinschreiben, das ist auch eine (trivialerweise richtige) Aussage.

1 Antwort

0 Daumen

Hallo sinidus,

Du fragtest: "Das würde doch bedeutet dass die Summe divergent ist oder nicht ?" Nein - das bedeutet, dass die gegebene Reihe kleiner ist als eine divergierende harmonische Reihe. Sie könnte divergieren, aber eine konvergierende Reihe wäre doch auch kleiner!

Mit dem Majorantenkriterium zeigt man i.A. dass eine Reihe, die bekanntermaßen konvergiert, größer als die untersuchte Reihe ist. Durch den Ersatz der Wurzel - d.h. der Potenz \(1/2\) - durch die Potenz \(1\) hast Du eine zu starke Änderung vollzogen, um eine schlüssige Aussage zu bekommen.

Folgendes führt zur Lösung:

$$\frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 + 1} \lt \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 - 2n + 1} = \frac{\sqrt{n-1}}{ (n-1)^2} = \frac{1}{(n-1)^{\frac32} }$$

Nun ist also

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 +1 } = 0 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 +1 } \lt \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{\frac32} } = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac32} } $$

und die zuletzt genannte Reihe konvergiert, da der Exponent im Nenner \(\gt 1 \) ist.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Statt  " divergiert "  muss es  " konvergiert "  heißen.

Stimmt!                      .

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community