Hallo sinidus,
Du fragtest: "Das würde doch bedeutet dass die Summe divergent ist oder nicht ?" Nein - das bedeutet, dass die gegebene Reihe kleiner ist als eine divergierende harmonische Reihe. Sie könnte divergieren, aber eine konvergierende Reihe wäre doch auch kleiner!
Mit dem Majorantenkriterium zeigt man i.A. dass eine Reihe, die bekanntermaßen konvergiert, größer als die untersuchte Reihe ist. Durch den Ersatz der Wurzel - d.h. der Potenz \(1/2\) - durch die Potenz \(1\) hast Du eine zu starke Änderung vollzogen, um eine schlüssige Aussage zu bekommen.
Folgendes führt zur Lösung:
$$\frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 + 1} \lt \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 - 2n + 1} = \frac{\sqrt{n-1}}{ (n-1)^2} = \frac{1}{(n-1)^{\frac32} }$$
Nun ist also
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 +1 } = 0 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{ n^2 +1 } \lt \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{\frac32} } = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac32} } $$
und die zuletzt genannte Reihe konvergiert, da der Exponent im Nenner \(\gt 1 \) ist.
Gruß Werner
