Aloha :)
zu a) Wir schreiben die Potenzreihe etwas um:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\underbrace{\frac{k^2}{2^k}}_{\eqqcolon a_k}\cdot(x-3)^k$$Nun kannst du den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe bestimmen:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k^2}{2^k}}{\frac{(k+1)^2}{2^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k^2}{2^k}\cdot\frac{2^{k+1}}{(k+1)^2}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{k+1}}{2^k}\cdot\frac{k^2}{(k+1)^2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|2\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\right|$$$$\phantom r=2\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(\frac{(k\pink{+1})\pink{-1}}{k+1}\right)^2\right|=2\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\right|=2\cdot1^2=2$$
Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:$$|x-3|<r\implies|x-3|<2\implies-2<x-3<2\stackrel{+3}{\implies}\pink{1<x<5}$$
An den Rändern des pinken Intervalls kann noch Konvergenz vorliegen, muss aber nicht. Daher prüfen wir die beiden Ränder einzeln ab:$$f(\pink1)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\cdot(-2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot k^2\quad\mapsto\text{divergent}$$Da \((k^2)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink1)\).
$$f(\pink3)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{2^k}\cdot(2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty k^2\quad\mapsto\infty$$Da \((k^2)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink3)\).
Die Potenzreihe konvergiert also für \(\pink{x\in(1|5)}\).
zu b) Auch diese Potenzreihe formen wir zunächst etwas um:$$\small g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{3^{2k-1}}\cdot(x+2)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{\green{3^{2k}}\cdot\blue{3^{-1}}}\cdot(x+2)^k=\blue3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\underbrace{\frac{k+1}{\green{9^k}}}_{\eqqcolon a_k}\cdot(x+2)^k$$Wieder bestimmen wir den Konvergenzradius:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k+1}{9^k}}{\frac{k+2}{9^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{9^k}\cdot\frac{9^{k+1}}{k+2}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k+2}\cdot\frac{9^{k+1}}{9^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(k+2)-1}{k+2}\cdot\frac{9^k\cdot9}{9^k}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\left(1-\frac{1}{k+2}\right)\cdot9\right|=1\cdot9=9$$
Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:$$|x+2|<r\implies |x+2|<9\implies-9<x+2<9\stackrel{-2}{\implies}\pink{-11<x<7}$$
An den Rändern des pinken Intervalls müssen wir die Konvergenz noch prüfen:$$g(\pink{-11})=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{9^k}\cdot(-9)^k=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot(k+1)\quad\mapsto\text{divergent}$$Da \((k+1)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink{-11})\).
$$g(\pink{7})=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k+1}{9^k}\cdot9^k=3\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)\quad\mapsto\infty$$Da \((k+1)\) keine Nullfolge ist, divergiert \(f(\pink{-7})\).
Die Potenzreihe konvergiert also für \(\pink{x\in(-11|7)}\).
