Lagrange Optimierungen Problem

Question

Aufgabe:

Maximiere die Funktipn f(x,y) 12xy^1/2

Neben Bedingung x+y= 100

Problem/Ansatz:

… mein Problem:

Nun hab ich die Nach X Y Lamda abgeleitet

Bekomme also

Lx = 12y^1/2 + L

Ly = 12xy^-1/2 +L

Ll= x+y-100

Was ich nun nicht verstehe wie geh ich weiter vor stelle ich Ll nach zb x um setzte es in 2 ein hab ich so ein Zahlen Dreher drin das ich jedes Mal bei -12y^-1/3  + 120y^-1/2 + L raus komme aber wie rechne ich den dann weiter kann ja nur noch das ganz in eine Wurzel bringen was mir ja auch nicht bringt Hilfe

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Als Lagrange-Funktion hast du:$$L(x;y;\lambda)=12xy^{\frac12}+\lambda(x+y-100)$$

Diese hast du (fast) richtig abgeleitet:$$\frac{\partial L}{\partial x}=12y^{\frac12}+\lambda\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial y}=6xy^{-\frac12}+\lambda\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-100$$

Wenn du die partielle Ableitung nach \(\lambda\) gleich Null setzt, erhältst du keine neue Information, sondern einfach nur die Nebenbedingung. Am besten ignorierst du diese Ableitung. Setze stattdessen die beiden anderen Ableitungen gleich Null und stelle sie nach \(\lambda\) um:$$\lambda=-12y^{\frac12}\quad;\quad\lambda=-6xy^{-\frac12}$$

Nun kannst du die beiden rechten Seiten gleichsetzen:$$-12y^{\frac12}=-6xy^{-\frac12}\stackrel{\cdot y^{\frac12}}{\implies}-12y=-6x\stackrel{\div(-6)}{\implies}\pink{x=2y}$$

Diese Forderung kannst du nun in die Nebenbedingung einsetzen:$$100\stackrel!=x+y=2y+y=3y\implies y=\frac{100}{3}\implies \pink{x=2y}=\frac{200}{3}$$

Comments

Tschakabumba du rettest mir mein Leben ich liebe dich!

Answer 2

Falls Lagrange nicht vorgegeben ist:

\(f(x,y) =12x \cdot\sqrt{y} \) soll maximiert werden.

NB:  \(x+y=100\)       \(y=100-x\)

\(f(x) =12x \cdot\sqrt{100-x} \)

\(\frac{df(x)}{dx} =12 \cdot\sqrt{100-x}+\frac{-12x}{2\sqrt{100-x}} \)

\(12 \cdot\sqrt{100-x}-\frac{6x}{\sqrt{100-x}} =0\)

\(12 \cdot\sqrt{100-x}=\frac{6x}{\sqrt{100-x}}   \)

\(2\sqrt{100-x}=\frac{x}{\sqrt{100-x}}  \)

\( 2\cdot(100-x)=x \)

\( x=\frac{200}{3} \)       \(y=100-\frac{200}{3}=\frac{100}{3}\)