Wie löse ich dieses Integral mit ln(x) im Nenner?

Question

Aufgabe:

Wir sollen ein Integral berechnen nämlich

\(\int_0^1(x^3-1)/ln(x) dx\)

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe steht, dass der Rechenweg nachvollziehbar angegeben werden soll.

Wie gehe ich hier vor? Mir fehlen die Ideen?

Danke euch!

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Bist du sicher, dass du die Funktion korrekt angegeben hast?

https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+%28x%5E3-1%29%2Fln%28x%29

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Hallo

sollt ihr das berechnen oder die Existenz zeigen, da ja ln(x) für x=0 nicht existiert bzw -oo und bei x=1 ist der Nenner 0? Oder frag nach einem Druckfehler denn (x^3-1)*ln(x) lässt sich mit normalen Mitteln lösen

lul

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Das Integral steht genau so in der Aufgabe.

Die Existenz des Integrals muss nicht gezeigt werden, sondern darf vorausgesetzt werden.

Sorry, das hätte ich noch angeben können.

Das ist unsere Wochenübung, ich muss sie am Freitag abgeben und grüble schon seit Montag darüber.

Bitte helft mir.

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Der Integralrechner von ggt22 liefert als Ergebnis 1,38629...

Aber den Rechenweg versteht niemand von uns :(

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Habt ihr numerische Integration?

wenn es (x^3-1)*ln(x) wäre ist es einfach zu integrieren, so frag nach einem möglichen Druckfehler in der Aufgabe

lul

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Was ist denn gerade Thema in der Vorlesung? Funktionentheorie? Gamma-Funktion? Uneigentliche Integrale? Welche Sätze sind kürzlich in der Vorlesung behandelt worden?

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In der Vorlesung geht es um Integrationsmethoden. Ich habe aber schon alles probiert: Substitution, partielle Integrstion, Potenzreihenansatz... Irgendwas übersehe ich. Aber meine Mitstudierenden haben auch keine wirkliche Idee.

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Warum hilft dir der verlinkte Integralrechner nicht weiter?

Das Integral fällt aus dem normalen Rahmen. Zusatzwissen ist notwendig (Gamma-Funktion).

Answer 1

Aloha :)

Ich gehe davon aus, dass du die Existenz des Integrals nicht explizit zeigen sollst, da ja der Rechenweg nachvollziehbar angegeben werden soll. Im Folgenden setze ich also die Existenz des Integrals voraus.

Ich schlage vor, dieses Integral allgemeiner zu lösen. Dazu ersetze den Exponenten durch einen Parameter \(a\). Wir suchen also allgemeiner folgendes Integral:$$I(a)=\int\limits_0^1\frac{x^a-1}{\ln(x)}\,dx\quad\text{hier speziell: }a=3$$

Wir stellen sofort fest, dass \(\pink{I(0)=0}\) ist, weil der Zähler für \(a=0\) verschwindet.

Damit haben wir einen bekannten Wert der Funktion \(I(a)\). Die Idee ist nun, die Ableitung \(I'(a)\) zu bestimmen, das Ergebnis zu integrieren und die Integrationskonstante mittels des bekannten Funktionswertes zu bestimmen:$$I'(a)=\int\limits_0^1\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{x^a-1}{\ln(x)}\right)dx=\int\limits_0^1\frac{x^a\cdot\ln(x)}{\ln(x)}\,dx=\int\limits_0^1x^a\,dx=\left[\frac{x^{a+1}}{a+1}\right]_{x=0}^1=\frac{1}{a+1}$$

Das können wir integrieren:$$I(a)=\ln|a+1|+C$$und erhalten die Integrationskonstanten aus dem bekannten Funktionswert:$$\pink{0=I(0)}=\ln|0+1|+C=C$$

Das heißt im Ergebnis:$$I(a)=\int\limits_0^1\frac{x^a-1}{\ln(x)}\,dx=\ln|a+1|$$

Speziell in diesem Fall hier ist die Lösung also: \(\pink{I(3)=\ln(4)}\approx1,3863\).

Comments

Wie genial ist das denn?

Vielen vielen Dank, ich küsse deine Augen!

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Lol, ein Gratis-Bier von Bier-gratis würde es auch tun ;)))

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Wie genial ist das denn?

Die Methode ist nach dem genialen Richard Feynman benannt, siehe z.B. hier , Beispiel 2..

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Die Methode ist nach dem genialen Richard Feynman benannt,

Genial, radikal, frivol und ernüchternd:

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Wer glaubt, die Quantentheorie verstanden zu haben, hat sie nicht verstanden.

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Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

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Start out understanding religion by saying everything is possibly wrong... As soon as you do that, you start sliding down an edge which is hard to recover from.

[Quantum mechanics] describes nature as absurd from the point of view of common sense. And yet it fully agrees with experiment. So I hope you can accept nature as She is - absurd.