0 Daumen
298 Aufrufe

Aufgabe: Ableitung

f(x) = 10e^-0,5x - 5xe^-0,5x


Wie ist die Ableitung ?

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir vereinfachen die Funktion zuerstf(x)=10e0,5x5xe0,5x=(105x)=ue0,5x=vf(x)=10\cdot e^{-0,5x}-5x\cdot e^{-0,5x}=\underbrace{(10-5x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}und stellen fest, dass wir zum Ableiten die Produktregel brauchen, weil ja 2 Funktionen u(x)u(x) und v(x)v(x) miteinander multipliziert werden. In der Funktion v(x)v(x) liegt das xx nicht in reiner Form vor, sondern taucht als Argument einer Funktion 0,5x\pink{-0,5x} auf. Wir brauchen daher zum Bilden der Ableitung v(x)v'(x) die Kettenregel.

Das sieht dann so aus:f(x)=(5)=ue0,5x=v+(105x)=ue0,5xa¨ußere Abl.(0,5)inntere Abl.=vf'(x)=\underbrace{(-5)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}+\underbrace{(10-5x)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{\pink{-0,5x}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-0,5})}^{\text{inntere Abl.}}}_{=v'}

Darin klammern wir nun die Exponentialfunkton aus und fassen den Rest zusammen:f(x)=e0,5x(55+2,5x)=e0,5x(2,5x10)f'(x)=e^{-0,5x}\left(-5-5+2,5x\right)=e^{-0,5x}\,(2,5x-10)

Avatar von 152 k 🚀

Wow, danke. Hab’s jetzt endlich verstanden! Vergesse nämlich immer die Kettenregel nochmal anzuwenden beim ableiten

0 Daumen

e^(-0,5x) ausklammern:

e^(-0,5x)*(10-5x)

u= e^(-0,5x) , u' = -0,5*e^(-0,5x)

v= 10-5x, v' = -5

Bau das zusammen zu: u'*v +u*v'

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Avatar von 39 k
0 Daumen

f(x)=10e0,5x5xe0,5x=105xe0,5xf(x)=10e^{-0,5x}-5xe^{-0,5x}=\frac{10-5x}{e^{0,5x}}

Nun Ableitung mit der Quotientenregel:

[ZN]=ZNZNN2[\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2}

f(x)=5e0,5x(105x)e0,5x0,5(e0,5x)2f'(x)=\frac{-5\cdot e^{0,5x}-(10-5x)\cdot e^{0,5x}\cdot 0,5}{(e^{0,5x})^2}    Hier darf nun gekürzt werden:

f(x)=5(105x)0,5e0,5x=2,5x10e0,5xf'(x)=\frac{-5-(10-5x) \cdot 0,5 }{e^{0,5x}}=\frac{2,5x-10}{e^{0,5x}}

Avatar von 42 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage