Wie ist die Ableitung ? Kettenregel / produktregel

Question

Aufgabe: Ableitung

f(x) = 10e^-0,5x - 5xe^-0,5x

Wie ist die Ableitung ?

Answer 1

Aloha :)

Wir vereinfachen die Funktion zuerst$$f(x)=10\cdot e^{-0,5x}-5x\cdot e^{-0,5x}=\underbrace{(10-5x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}$$und stellen fest, dass wir zum Ableiten die Produktregel brauchen, weil ja 2 Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) miteinander multipliziert werden. In der Funktion \(v(x)\) liegt das \(x\) nicht in reiner Form vor, sondern taucht als Argument einer Funktion \(\pink{-0,5x}\) auf. Wir brauchen daher zum Bilden der Ableitung \(v'(x)\) die Kettenregel.

Das sieht dann so aus:$$f'(x)=\underbrace{(-5)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}+\underbrace{(10-5x)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{\pink{-0,5x}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-0,5})}^{\text{inntere Abl.}}}_{=v'}$$

Darin klammern wir nun die Exponentialfunkton aus und fassen den Rest zusammen:$$f'(x)=e^{-0,5x}\left(-5-5+2,5x\right)=e^{-0,5x}\,(2,5x-10)$$

Comments

Wow, danke. Hab’s jetzt endlich verstanden! Vergesse nämlich immer die Kettenregel nochmal anzuwenden beim ableiten

Answer 2

e^(-0,5x) ausklammern:

e^(-0,5x)*(10-5x)

u= e^(-0,5x) , u' = -0,5*e^(-0,5x)

v= 10-5x, v' = -5

Bau das zusammen zu: u'*v +u*v'

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

\(f(x)=10e^{-0,5x}-5xe^{-0,5x}=\frac{10-5x}{e^{0,5x}}\)

Nun Ableitung mit der Quotientenregel:

\([\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2}\)

\(f'(x)=\frac{-5\cdot e^{0,5x}-(10-5x)\cdot e^{0,5x}\cdot 0,5}{(e^{0,5x})^2}\)    Hier darf nun gekürzt werden:

\(f'(x)=\frac{-5-(10-5x) \cdot 0,5 }{e^{0,5x}}=\frac{2,5x-10}{e^{0,5x}}\)