Wie viele Ziehversuche wahrscheinlichkeit

Question

Wir haben Socken in 2 Farben. Jede Farbe gibt es unendlich Mal. Jedes Mal, wenn ich eine Socke ziehe, ist die Farbe zufällig.

1. Betrachten wir ein zweifüßiges Tier. Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis ich ein Paar Socken habe mit der gleichen Farbe.

2. Betrachten wir ein dreifüßiges Tier. Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis ich 3 Socken habe mit der gleichen Farbe.

3. Betrachten wir ein n-füßiges Tier. (n>1) Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis alle Socken für jeden Fuß die gleiche Farbe haben?

Comments

Nimm ein Zahlenbeispiel: 5 schwarze und 5 weiße Socken und geh vom schlimmsten Fall aus.

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Du könntest die Formel \( E = \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\frac{(k+n)·\binom{k+n-1}{k}}{2^{n+k-1}}} \) (lässt sich wahrscheinlich noch etwas aufhübschen) probieren.

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Wo haben Sie diese Formel hergezaubert? Wie kommt man darauf?

Wie sähe die hübschere Form aus?

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Da es in der Aufgabe heißt  Jede Farbe gibt es unendlich Mal , habe ich nicht nach deinem Vorschlag mit 5 schwarzen und 5 weißen Socken, sondern als Näherung mit 5 Millionen schwarzen und 5 Millionen weißen Socken gearbeitet.

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Danke. Auf sowas käme ich nie bzw. ohne Weiteres. Dass das für Sie kein Problem ist, steht außer Frage.

Könnten Sie die Formel kurz so erklären, dass es einer wie ich vlt. nachvollziehen könnte. Aber nur, wenn möglich ohne größeres Ausholen. V.a. der Nenner macht mir Probleme.

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Mein Kommentar war nicht als Abschreib-Lösung sondern als Kontrolle (insbesondere für die ersten beiden Aufgabenteile) gedacht, deshalb habe ich bewusst keine weitere Erklärung dazugeschrieben. Wenn der Abgabe-Termin in ca einer Woche verstrichen sein wird, werde ich meine Überlegungen gerne etwas detaillierter erläutern, wenn bis dahin nicht jemand anderes dem Fragesteller weitergehende Hilfestellung geleistet hat.

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Verstehe. Dann warten wirs ab und ggf. auf Ihre detaillierte Lösung. Bonne nuit!

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@Gasthj Der Binomialkoeffizient in deiner Formel ist nicht ganz korrekt, es sollte \(\binom{n + k}{k}\) sein.

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Einen Erwartungswert von E=3,25 bei n=2 kann ich allerdings nicht nachvollziehen.

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@Gasthj Sorry, der Exponent vom Nenner ist so klein auf meinem Bildschirm, ich hatte das vorhin falsch gelesen und das gleiche raus. Habe noch die geschlossene Form, die ich erhalten habe, in meine Antwort geschrieben.

Answer 1

Wir betrachten schwarze und weiße Socken mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2.

1. Betrachten wir ein zweifüßiges Tier. Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis ich ein Paar Socken habe mit der gleichen Farbe.

Möglichkeiten: ss, sws, wss und dasselbe mit s und w vertauscht

E(X) = 2 * (2 * 1/4 + 3 * 2/8) = 5/2 = 2.5

2. Betrachten wir ein dreifüßiges Tier. Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis ich 3 Socken habe mit der gleichen Farbe.

Möglichkeiten: sss, ssws, swss, wsss, sswws, swsws, swwss, wssws, wswss, wwsss und dasselbe mit s und w vertauscht

E(X) = 2 * (3 * 1/8 + 4 * 3/16 + 5 * 6/32) = 33/8 = 4.125

3. Betrachten wir ein n-füßiges Tier. (n>1) Wie viele Ziehversuche muss ich voraussichtlich durchführen, bis alle Socken für jeden Fuß die gleiche Farbe haben?

Hierfür wurde ja schon eine Formel veröffentlicht. Wesentliche Vereinfachungen sehe ich allerdings nicht und ist vermutlich auch nicht sinnvoll.

Comments

Erstmal danke ich für deine Zeit und Antwort.

Könntest du mir sagen wir du zb hier auf sie Werte kommst:

E(X) = 2 * (2 * 1/4 + 3 * 2/8) = 5/2 = 2.5

2 * am Anfang weil es auch umgekehrt mit s und w passieren kann?

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Kennt sich jemand mit WolframAlpha aus und kann mir erklären, warum die Maschine versagt, wenn ich die Summe so wie oben notiert eingebe :
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+k%3D0+to+%28n-1%29+%28%28k%2Bn%29*binom+%28k%2Bn-1+%2C+k%29%2F2%5E%28n%2Bk-1%29%29
aber völlig richtig rechnet, wenn ich die Bezeichnung der Variablen n und k vertausche
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%3D0+to+%28k-1%29+%28%28n%2Bk%29*binom+%28n%2Bk-1+%2C+n%29%2F2%5E%28n%2Bk-1%29%29 ?

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@Gast hj2166

Auch ich hatte das schon öfter mit Lagrange, wenn ich es mit k und m rechnen möchte, funktioniert es nicht. Rechne ich stattdessen mit x und y funktioniert es.

Auf eine Mail an Wolframalpha bezüglich vermuteter Fehler habe ich aber nie eine Antwort erhalten.

Man muss das also vermutlich einfach so hinnehmen und evtl. probieren, andere Buchstaben zu benutzen. Was auffällt, ist ja, dass Wolframalpha für k auch nur probiert irgendwelche Werte einzusetzen und nicht versucht den Ausdruck nur irgendwie zu vereinfachen. Oder letzteres gelingt nicht.

Für n probiert er dann vielleicht nicht mal Werte einzusetzen, weil er n nicht als Parameter sieht, sondern vielleicht eher als Variable.

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2 * am Anfang weil es auch umgekehrt mit s und w passieren kann?

Richtig.

2 * (2 * 1/4 + 3 * 2/8) = 5/2 = 2.5

Ansonsten ist das die Formel für den Erwartungswert. Also 2 und 3 als Anzahl der Ziehversuche und 1/4 bzw. 2/8 als die Wahrscheinlichkeiten 2 oder 3 Ziehversuche zu haben. Die Formel für den Erwartungswert ansonsten ist klar? Ansonsten solltest du das nochmals nachlesen.

Answer 2

Die Fälle \(n=2\) und \(n=3\) werden nicht umsonst separat aufgeführt. Anhand derer soll man sich nämlich den allgemeinen Fall überlegen. Da es unendlich viele Socken jeder Farbe gibt und es nur zwei Farben gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Farbe also \(p=0,5\).

Weiter kann man sich überlegen, dass man mindestens \(n\) und maximal \(2n-1\) mal ziehen muss, weil man dann mit Sicherheit ein gleichfarbiges "Paar" hat.

Mit Hilfe eines Baumdiagramms lassen sich für die Fälle \(n=2\) und \(n=3\) die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zufallsgröße \(X:\text{Anzahl der benötigten Züge für ein gleiches "Paar" Socken}\) bestimmen.

Gesucht ist jeweils \(E[X]\). Fang also erst einmal mit den leichten Fällen an und versuche dann, den Sachverhalt zu verallgemeinern.

Comments

Ich habe für den Fall mit 2 Socken 2,5 raus und 3 Socken 15

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Der Fall n=2 stimmt. Der Fall n=3 haut nicht hin, da du bereits nach 5 Socken ein passendes Paar haben musst.

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Ich habe zb bei 2 Socken geschaut wie viele Wege zum "Erfolg" führen über ein Baumdiagramn

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Hmm also ich habe bei dem 2. Fall das genau wie beim ersten gemacht.

Beimdiagramm. Dann geschaut wie viele Wege zum Erfolg führen. Und immer mal 0,5 da ja jede Ziehung 0,5 als p hat.

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Ich habe also für den ersten Fall berechnet: 0,5×2 + 0,5 × 3

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Der erste Fall stimmt. Dann ist beim zweiten Fall irgendetwas schiefgegangen.

Answer 3

Wenn du die Definition des Erwartungswertes einsetzt (du summierst nur von \( n \) zu \( 2n - 1 \), warum?) kommst du genau auf die Formel
\(\begin{aligned} \sum_{ k = 0}^{ n - 1} ( n + k) \binom{n + k - 1 }{ k} \frac{1}{ 2^{ n + k - 1}} . \end{aligned}\)
Das kann man noch zur folgenden Form vereinfachen, wenn ich mich nicht verechnet habe:
\(\begin{aligned} \sum_{ k = 0}^{ n - 1} ( n + k) \binom{n + k - 1 }{ k} \frac{1}{ 2^{ n + k - 1}} &= 2n \sum_{ k = 0}^{ n - 1} \binom{ n + k}{ k} \frac{1}{ 2^{ n + k}} = 2n \Bigl( 1 - \binom{ 2n}{ n} \frac{1}{ 4^{ n}} \Bigr) . \end{aligned}\)
Wollte jetzt nicht meine Seite Rechnung niedertippen, führe es bei Nachfrage aber gerne weiter aus.

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Was ist hier bei meinem Beispiel (Fall 1) n und mein k?

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Das \(k\) in der Summe steht für das Ereignis, dass du im \(k\)-ten Zug den richtigen Socken ziehst, so dass du zum ersten mal \(n\) gleichfarbige hast. Das \(n\) steht für die Anzahl der gleichfarbigen Socken, die du ziehen möchtest, also \(n = 2\) für den ersten Fall.