Differentialgleichung richtig lösen

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sei es folgende DGL zu lösen:

$$y'=\frac{x^2}{1+y^2}$$

Problem/Ansatz:

Da es sich hierbei nicht um eine Bernoulligleichung handelt und ich mit der Substitution auch nicht weiter gekommen bin, habe ich einfach mit Trennung der Variablen gearbeitet.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1+y^2}$$

$$(1+y^2)dy=(x^2)dx$$

$$y+\frac{y^3}{3}+c_1=\frac{x^3}{3}+c_2$$

$$y(x)=-\frac{y^3}{3}+\frac{x^3}{3}+C$$

Beim Ergebnis bin ich mir allerdings sehr unsicher. Darf ich 1+y^2 wirklich so in einem integrieren oder hätte ich vorher noch irgendwas anderes machen müssen?

Answer 1

Hallo,

Darf ich 1+y^2 wirklich so in einem integrieren --->Ja

ich kann keinen Fehler finden.

Comments

Abgesehen davon, dass das ja nicht das Endergebnis sein kann.

Auf beiden Seiten der Gleichung steht y.

Damit ist die Funktion y(x) immer noch nicht explizit gefunden.

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%3Dx%5E2%2F%281%2By%5E2%29

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@Truthahn , Du kannst das Ergebnis so stehen lassen:

\( \frac{y^{3}}{3}+y=\frac{x^{3}}{3}+C \)

Sicher ist es möglich nach y aufzulösen, aber in der Lösung nicht so einfach und wohl auch nicht gefordert.

Es muß nicht immer alles in expliziter Form stehen , nur weil es in WA so steht.

Du kannst ja Deinen Prof fragen, was er als Lösung angegeben hat.

Answer 2

Integrieren darfst Du so, musst aber danach nach y auflösen. Bei deinem Ergebnis steht ja rechts noch ein y.

Und mach mit deinem Ergebnis stets die Probe - da wäre dir auch dein Fehler sofort aufgefallen.

Comments

Oh okay, aber wie würde ich das denn tun? Mir ist nicht wirklich ersichtlich, wie ich die y³ wegbekommen soll.

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Tja, das ist durchaus ein Problem.

Du müsstest die Gleichung \(y+y^3/3=d\) in Abhängigkeit von \(d\) lösen. Plot von \(y+y^3/3\) zeigt: es gibt eine eindeutige Lösung. Nur ist die nicht elementar hinzuschreiben. Die Lösung mit wolframalpha (siehe link von abakus oben) gibt drei Lösungen, aber zwei davon sind nicht reell. Also gibt es genau eine reelle (wie man schon an eben erwähntem Plot sieht). Wie die aussieht, kannst Du im link nachlesen.

Hier ist die Frage: Wie lautet die Aufgabenstellung im Original?

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Tatsächlich ist das genau die Aufgabenstellung: "Lösen Sie..." und dann die Gleichung. Da es sich allerdings um eine Aufgabe aus einer Altklausur mit knapp bemessener Zeit und ohne Hilfsmittel handelt, denke ich, dass die bisherige Lösung reichen sollte.

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Du hast bisher aber keine Lösung. Vlt ist auch ein Druckfehler drin.

Answer 3

Zu lösen sei die DGL$$y^\prime=\frac{x^2}{1+y^2}.$$Substituiere dazu \(\displaystyle y=z-\frac1z\) und erhalte mit \(\displaystyle y^\prime=z^\prime+\frac{z^\prime}{z^2}\) nach einigen Umformungen$$z^\prime=\frac{z^4}{1+z^6}{\cdot}x^2.$$Trennung der Variablen liefert$$\left(z^2+\frac1{z^4}\right)\mathrm dz=x^2\,\mathrm dx.$$Daraus folgt$$\frac13z^3-\frac1{3z^3}=\frac13x^3+c.$$Substituiere nun \(v=z^3\) und erhalte$$v^2-(x^3+3c)v-1=0.$$Löse diese quadratische Gleichung für \(v\), berechne daraus \(z\) und daraus \(y\).