Matrixmodell einer Mäusepopulation

Question

Text erkannt:

Stadtteilschule Richard-Linde-Weg
Mündliches Abitur - Aufgabenstellung für Präsentationsprüfungen
Die beobachteten Anzahlen in den Altersklassen sind in folgendem Diagramm festgehalten worden:

Erstellen Sie aus den Daten ein Matrixmodell und einen Obergangsgrafen. Untersuchen Sie die nicht direkt ersichtlichen Matrixelemente auf mögliche Nullen und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Untersuchen Sie das langfristige Verhalten der Population und beurteilen Sie, ob vor der Beobachtung gleiche Bedingungen wie während der Beobachtung geherrscht haben können. Überprüfen Sie auch, ob es eine stationäre Population geben könnte.
Beurteilen Sie, ob das Modell die Situation einer Mäuseplage angemessen modelliert.

Modellieren Sie die obige Mäusepopulation auch mit Hilfe der Analysis. Gehen sie dabei von verschiedenen Wachstumsmodellen aus und beurteilen Sie, welches Modell am besten den Wachstumsprozess der Gesamtpopulation beschreibt.
Präsentieren Sie Ihre Lösungen und die verwendeten Verfahren in sachgerechter, mediengestützter Form.
\( \begin{array}{l} \text { nough } \\ \text { jug } \\ a \text { if } \end{array}\left(\begin{array}{cccc} 240 & 204 & 258 & 384 \\ 30 & 120 & 102 & 129 \\ 12 & 3 & 30 & 26 \end{array}\right) \)

Aufgabe:

Ich weiß nicht was die Aufgabe von mir will?

Problem/Ansatz:

Problem ist das ich den Ansatz nicht kenne?

Comments

Ich weiß nicht was die Aufgabe von mir will?

Das, was jeweils mit einem fett gedruckten Wort eingeleitet wird.

Answer 1

Du sollst zunächst eine Übergangsmatrix und einen Übergangsgraphen aufstellen.

Deine Matrix M müsste folgende Bedingungen erfüllen

M * v0 ≈ v1
M * v1 ≈ v2
M * v3 ≈ v4

Du erhältst 3 lineare Gleichungssysteme mit jeweils 3 Unbekannten. Das sollte dir ermöglichen, die Matrix M zu ermitteln und damit auch den Übergangsgraphen zu zeichnen.

Wenn du das soweit hast kannst du dich gerne mal mit Ergebnissen melden.

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}M \cdot v_{0} \approx V_{1} \\ \text { M. } V_{1}=V_{2} \\ M \cdot V_{2}=V_{3} \\ \text { M. } V_{3}=V_{4} \\ \left(\begin{array}{ccc}0,85 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0,25\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}240 \\ 30 \\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}204 \\ 120 \\ 3\end{array}\right) \\ \begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}1,226 \\ 4,9 & 0 & 0 \\ 0 & 0,85 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}204 \\ 120 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}258 \\ 102 \\ 30\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc}1,4880 & 0 \\ 0 & 1,265 & 0 \\ 0 & 0 & 0,867\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}258 \\ 102 \\ 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}384 \\ 129 \\ 26\end{array}\right)\end{array} \\\end{array} \)

Ist das richtig soweit? Oder muss M gleich sein überall wenn ja wie soll das gehen

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Oder muss M gleich sein überall

Selbstverständlich!

Zum Zeitpunkt 0 gibt es 240 neugeborene Mäuse. Wenn die alle überleben würden, gäbe es zum Zeitpunkt 1 dann 240 Jungmäuse. Gibt es aber nicht, denn es sind nur 120! Das bedeutet: die Hälfte stirbt/wird gefressen, und nur die andere Hälfte überlebt. Der Übergangsfaktor ist hier also 0,5 (das siehst du auch vom Zeitpunkt 1 zum Zeitpunkt 2: Von 204 neu geborenen Mäusen erreicht nur die Hälfte (102) den Status einer Jungmaus.

Klar ist auch, dass eine neugeborene Maus nicht sofort eine Altmaus wird, und klar ist auch, dass sie eine Zeiteinheit später keine neugeborene Maus mehr ist.

Aus Jungmäusen können (wenn sie überleben, was nicht alle tun) nur Altmäuse werden.

Altmäuse bleiben im Überlebensfall Altmäuse, außerdem erzeugen sie durch gewisse biologische Prozesse neugeborene Mäuse.

Finde erst mal aus dem Diagramm die richtigen Übergangswerte für die 9 Stellen in der Matrix. Den Wert 0,5 für eine der 9 Stellen habe ich bereits genannt; unmögliche Übergänge erhalten den Wert 0. Den Rest musst du finden.

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Meinst du so? Die 0 sind unmöglich Situationen

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Wenn ich mal in

M * v0 = v1

Werte einsetze, dann sieht das bei mir so aus

daraus erhalte ich beim Multiplizieren folgende Gleichungen

240·a + 12·b + 30·c = 204
240·d + 12·e + 30·f = 120
240·g + 12·h + 30·i = 3

Das könntest du zunächst mal mit allen Bedingungen so durchführen. Wobei das gleich durchaus auch als ungefähr gleich gedeutet werden darf. Aber die obigen Gleichungen sind für die richtige Lösung tatsächlich exakt gleich.

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Habe dann \( \begin{pmatrix} 210\\120,75\\0,3 \end{pmatrix} \) raus bekommen

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Deine Matrix P ist Unfug. Damit behauptest du: 85% der neugeboren Mäuse bleiben neugeborene Mäuse.

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Was muss da stattdessen rein?

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Habe dann ... raus bekommen

Wofür jetzt genau? beachte das momentan die drei angegebenen Gleichungen 9 Unbekannte haben. Momentan kann man da nicht mal eine unbekannte bestimmen, wenn man nur nach den Gleichungen geht.

Ich habe auch gesagt das dies auch noch mit den anderen Bedingen gemacht werden muss. Bitte gehe Schrittweise vor.

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Der der mir die ganzen Lösungen von den Aufgaben schickt den schicke ich 10€

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Wenn du nur die Ergebnisse haben willst, dann wende dich an euren Klassenbesten in Mathe und biete dem die 10 Euro an.

Wir sind alle hier, um Schülern zu helfen und nicht um die Abiarbeit zu erledigen.

Mache einfach, was ich dir aufgetragen habe, das führt dich gerichtet zum Ziel.

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- Gelöscht -

- Gelöscht -

- Gelöscht -

Hier standen mal sehr zielführende Hinweise. Nach dem Kommentar

Der der mir die ganzen Lösungen von den Aufgaben schickt den schicke ich 10€

habe ich alle wieder gelöscht. Ein Abitur muss man mit Leistung verdienen und nicht mit Geld erkaufen.

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Hier standen mal sehr zielführende Hinweise. Nach dem Kommentar

Du gehst da von Sachen, aus, die evtl. nicht zutreffen müssen.

Woher weißt du das ein Teil junge Mäuse nicht nach einem Monat auch noch junge Mäuse sind und das alle alte Mäuse nach 2 Monaten Lebensdauer sterben.

Ebenso könnte ein Teil der Neugeborenen evtl. als Spätentwickler auch nach einem Monat noch zu den Neugeborenen gerechnet werden.

Das primitive Modell das hier heraus kommt ist natürlich möglichst einfach und damit mit vielen Nullen ausgestattet, dass muss aber nicht so sein und davon sollte man eigentlich auch nicht ausgehen.

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Text erkannt:

\( \left\{\begin{array}{l}240 a+12 b+30 c\}=204 \\ 240 d+12 e+30 f\}=120 \\ 240 g+12 h+30 i\}=3 \\ 204 a+120 b+3 c=258 \\ 204 d+120+3 f=102 \\ 204 g+120 h+3 i=30 \\ 258 a+102 b+30 c=384 \\ 258 d+10 l c+30 f=129 \\ 258 g+102 h+30 i=26\end{array}\right. \)

Meint ihr so?

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Der der mir die ganzen Lösungen von den Aufgaben schickt den schicke ich 10€

Kann man solch ein Verhalten eigentlich anzeigen? Ich weiß gar nicht, wie da die Rechtslage ist. Aber solche Leute wären bei mir gleich gnadenlos durchgefallen.

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Ich nehme an, der prüfende Mathelehrer liest hier mit und kann die fotographierte Aufgabe dem Fragesteller zuordnen.

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Meint ihr so?

https://usagif.com/wp-content/uploads/upgifsok/tumbleweed-acegif-19.gif

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Wo ist der Unterschied zwischen 10€ und 0€ ?

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Ok nehme das mit den 10€ zurück war gerade bisschen nur verzweifelt

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Meint ihr so?

Das ist richtig. Jetzt fasst du alle Bedingungen für die Unbekannten a, b und c zusammen und löst das entsprechende Gleichungssystem

240·a + 12·b + 30·c = 204
204·a + 120·b + 3·c = 258
258·a + 102·b + 30·c = 384

Das machst du ebenso mit den anderen Unbekannten. Bei dem letzten Gleichungssystem hast du vermutlich Schwierigkeiten weil es keine Unbekannten gibt das alle Gleichungen exakt gelöst werden können. Wenn du dort allerdings die Gleichungen anschaust siehst du vermutlich eine sehr triviale Lösung, die bei extrem einfachen Matritzen-Modellen durchaus üblich ist.

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Kann man solch ein Verhalten eigentlich anzeigen? Ich weiß gar nicht, wie da die Rechtslage ist. Aber solche Leute wären bei mir gleich gnadenlos durchgefallen.

Das ist von Lehrkraft zu Lehrkraft unterschiedlich.

Eine Klausel, dass man Personen (inzwischen auch KI) angeben soll, die geholfen haben, sind durchaus üblich.

Letztendlich ist die Präsentation der Aufgabe zumindest hier in Hamburg nur ein kleiner Teil von ca. 10 Minuten. Das Fachgespräch danach, in der das wirkliche Verständnis geprüft wird, dauert 20 Minuten und wird auch anteilig mehr gewichtet.

Aber das alles kann von Bundesland zu Bundesland sicher abweichen. Genaue Abiturrichtlinien erfährt man im zuständigen Bildungsministerium.

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Habe da für a b und c 0 2 und 6 raus bekommen

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Habe da für a b und c 0 2 und 6 raus bekommen

Das ist richtig. Damit hast du die ersten 3 Werte der Matrix bereits. Jetzt solltest du dich an die nächsten drei machen.

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Und wie mache ich das?

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Schnapp dir alle Gleichungen deiner Antwort oben

https://www.mathelounge.de/1081629/matrixmodell-einer-mausepopulation?show=1081964#c1081964

in denen die Unbekannten d, e und f vorkommen und löse das entsprechende Gleichungssystem für diese Unbekannten.

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Das geht nicht auf

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Das Gleichungssystem

240·d + 12·e + 30·f = 120
204·d + 120·e + 3·f = 102
258·d + 102·e + 30·f = 129

geht auf. Lass dir mal mit deinem Taschenrechner oder einem anderen Rechenknecht.

Für einige Rechner ist es sinnvoll, die Unbekannten d, e und f umzubenennen in x, y und z. Nicht, dass ein Rechner das e noch als die Eulersche Zahl interpretieren möchte. Dann geht es nämlich nicht auf.

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Du bist eine Maschine

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Das das Gleichungssystem (3) nicht aufgeht hatte ich oben schön erklärt. aber vielleicht siehst du hier das die Ergebnisse auf der rechten seite fast immer 1/4 der Werte vor dem h sind. Sodass wir evtl. g = i = 0 und h = 0.25 annehmen können. Warum könnte das eine sinnvolle Lösung sein?

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Du bist eine Maschine

Mit Sicherheit nicht. Aber ich habe eine Maschine die mir einen Großteil der Arbeit abnimmt.

Ich lass’ mir das Gleichungssystem ja auch nur über einen Rechner lösen und mache das nicht selber. Aber ich könnte das sicher auch von Hand, wie es evtl. von Euch erwartet wird.

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Das mit der Maschine war ein Lob habe jetzt d= —1,578 e= 3,149 f=15,367 h=0,256

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Das ist leider verkehrt.

Es kommen dort sehr schöne Zahlen heraus. Hast du das mit dem Taschenrechner gelöst oder wie?

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Habe das kurzer hand per photomath eingescannt

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Tipp Fehler 0,5 und 0 0 d e f

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Tipp Fehler 0,5 und 0 0 d e f

Das ist richtig.

Photomath ist sehr gut. Ich musste dort die Unbekannten allerdings umbenennen, ansonsten wollte er das e wohl als Eulersche Zahl nehmen und hat gesagt das Gleichungssystem hat keine Lösung. Mit x, y und z geht das:

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Was sind unsere nächsten schritte chef

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Wenn du aufmerksam gelesen hast bezüglich des (3) Gleichungssystem bist du fertig und du hast eine Übergangsmatrix. Begründe noch die Lösung des 3. Gleichungssystems.

Als Nächstes kannst du dann dazu übergehen, den Übergangsgraphen zu zeichnen.

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\( \begin{pmatrix}  0& 2 & 6 \\ 0,5 & 0 &0\\ 0& 0,256 &0\end{pmatrix} \)

Ist das unsere matrix

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Die Begründung hängt damit zusammen das alte nicht jungen werden können oder vielleicht das neugeborene nicht direkt alte werden können

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Wie erstelle ich diesen übergangsgrafen und wie soll ich die zweite Aufgabe machen

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Der Eintrag in der Mitte unten sollte 0.25 sein und nicht 0.256

Siehe: https://www.mathelounge.de/1081629/matrixmodell-einer-mausepopulation?show=1082011#c1082011

Genau. Die 0 links unten steht für den Übergang von Neugeboren auf Alt. Das macht durchaus Sinn.

Die 0 rechts unten steht allerdings für den Übergang von Alt nach Alt. Offensichtlich wollen die hier auch das dort eine Null steht.

Das ist zwar nicht so ganz klar, warum Mäuse älter als 3 Monate abkratzen sollten, aber so ist hier offenbar das Modell ausgelegt :)

Hier ist ein Video wo ein Graph in eine Matrix umgewandelt wird. Du musst das jetzt nur umgekehrt machen von einer Matrix in einen Graphen.

https://www.youtube.com/watch?v=iSVk03gyAw4

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Glaube das da was falsch ist weil laut unserer matrix werden aus den jungen und den alten neugeborene und h ist 0,256

Text erkannt:

Lösungen
LÖSUNGSSCHRITTE
Löse das Gleichungssystem
\( \left\{\begin{array}{l} 240 a+12 b+30 c=3 \\ 204 a+120 b+3 c=30 \\ 258 a+102 b+30 c=26 \end{array}\right. \)

Löse mit Hilfe des Additionsverfahren
\( (a, b, c)=\left(-\frac{11}{2604}, \frac{2003}{7812}, \frac{61}{1953}\right) \)
Lösungsschritte zeigen

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Negative Werte für eine Lösung sind bei einer Population nicht erlaubt. Daher ist die Lösung eben nicht sinnvoll.

Die letzte Zeile lautet daher wie besprochen: 0 ; 0.25 ; 0

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Mit den Nullen bin ich einverstanden wollte nur zeigen das es \( \frac{2003}{7812} \) = 0,256. das ist aber nicht das Problem muss die nächsten Aufgaben erledigen bitte um Hilfe!

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Bei dem Graphen lässt du die Pfeile weg, die Null sind.

Eine Null bedeutet, dass dort kein Übergang ist.

c) Untersuchen Sie das langfristige Verhalten der Population.

Was denkst du? Stirbt die Population irgendwann aus, nähert sich die Population einem Grenzwert oder steigt die Population über alle Grenzen.

Kleiner Tipp: Anhand der gegebenen Populationsgrößen v0 bis v4 kannst du das langfristige Verhalten begründen.

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Anhand der gegebenen Populationsgrößen v0 bis v4

Weißt du mehr als wir?

Für mich sichtbar sind nur v0 bis v3 gegeben.

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Genau sollte "Anhand der gegebenen Populationsgrößen v0 bis v3" lauten.

Nur ich habe bei mir hier zuerst noch v4 ausgerechnet, die braucht man aber nicht zur Begründung.

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Verstehe jetzt nicht genau was ich machen soll?

Soll ich das so lange machen bis ich zb v10 hab

wenn  ja muss ich das schrittweise machen von v4 zu v5 von v5 zu v6 usw? Oder gibt es da einen kürzeren Weg

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Nein. Ich habe gesagt, das Verhalten kannst du an den gegebenen Werten v0 bis v3 begründen. Du brauchst keine weiteren Populationswerte zu berechnen.

Für direkte weitere Populationen ist das am einfachsten direkt aus v3 v4 zu berechnen, aus v4 dann v5 usw.

Nur für große Sprünge wäre es günstig

M² = M * M
M^4 = M² * M²
M^8 = M^4 * M^4

etc. vorher zu berechnen.

Frag dich selber, ob du z.B. M² berechnen könntest. Du brauchst es nicht machen, aber solltest es bei einer Nachfrage auf jeden Fall erklären können.

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Soll dann sowas sagen wie die Anzahl von Mäusen wird stiegen zb von 204 auf 384 innerhalb von 3 Monaten usw

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Was wäre dann die Erklärung von M^2 ? M • M

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Und wie überprüfe ich die stationäre Population?

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Soll dann sowas sagen wie die Anzahl von Mäusen wird stiegen zb von 204 auf 384 innerhalb von 3 Monaten usw

Das kommt später in der Untersuchung mit der Analysis.

Momentan sollst du nur sagen, ob

- die Population aussterben wird.

- sich einem Grenzbestand annähert oder

- über alle Grenzen bis ins Unendliche wächst.

Natürlich mit einer Begründung anhand der Werte von v0 bis v3.

M² ist die Matrix, die den Übergang der Population innerhalb eines Zeitraumes von 2 Monaten, statt eines Monates beschreibt.

M^8 ist die Matrix, die den Übergang der Population innerhalb eines Zeitraumes von 8 Monaten, statt eines Monates beschreibt.

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Und wie überprüfe ich die stationäre Population?

Schau, ob ein Vektor v = [a; b; c] die Bedingung

M * v = v erfüllt. Wenn es diesen Vektor gibt, dann gib ihn an.

Eigentlich steht sowas aber in jedem gescheiten Mathebuch der Oberstufe drin.

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Antwort 3 da sie immer mehr werden die Mäuse. Siehe Graf bzw. Werte von v1 bis v3. die Jungen und die alten verzeichne relativ konstant bleibende Zahlen

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Antwort 3 ist richtig. Im direkten Vergleich von v0 und v2 fällt auf, dass die Neugeboren und die Jungen sich auf jeden Fall vermehrt haben und die Anzahl der Alten sich nicht verringert hat.

Sowas wie Eigenwerte und Eigenvektoren habt ihr sicher nicht besprochen oder? Als guter Schüler könnte man sich da mal einlesen und sowas berechnen. Das macht eigentlich auch in Hinblick auf die Analysisaufgabe Sinn.

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hatten kein Mathe Buch in der Oberstufe

Verstehe die Vs nicht bei der Formel

Würde dann bei m^2 nicht folgende Matrix rauskommen

\( \begin{pmatrix} 0& 4 &36 \\ 0,25 & 0&0 \\ 0 &0,0655 &0 \end{pmatrix} \) 

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Das Quadrat einer Matrix bekommt man nicht, indem man jeden Eintrag quadriert.

Du musst dazu die Matrix mit sich selbst über eine Matrizenmultiplikation multiplizieren.

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Ok dann würde da 1 2,358 0

                            0.    1.   9

                      0,0164   0.  0

Rauskommen

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Ich habe jedoch noch nicht das mit dem stationären Population verstanden

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Dann solltest du vielleicht ein paar Videos schauen, wo das vorgemacht wird.

Matrixmultiplikation

https://www.youtube.com/watch?v=tNcv3RGNb5k

Fixvektor

https://www.youtube.com/watch?v=mnWoRM6XvO8

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Das ist mein zwischen Ergebnis wie gehts jetzt weiter

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}-a+2 b+6 c=0 \\ 0,5 a-b=0 \\ 0,25 b b-c=0 \\ \left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right) \\ =a\end{array} \)

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Na jetzt geht es doch darum dieses Gleichungssystem zu Lösen. Gibt es irgendeine andere Lösung außer a = b = c = 0? Und wie erkennt man das?

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Wie löse ich diese Gleichung auf?

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Wie löse ich diese Gleichung auf?

Es gibt 4 Verfahren Gleichungssysteme zu lösen

1. Gleichsetzungsverfahren

2. Einsetzungsverfahren

3. Additionsverfahren (Gauss-Verfahren)

4. Technologieeinsatz

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Was bedeuten den jetzt die ganzen Nullen

Heißt das die sterben aus? Oder die werden bis ins unendliche mehr und können nicht aussterben?

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Wie modelliere ich das aber mit Hilfe der analysis

Welches Wachstumsmodell passt am besten und?

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Jemand wach?