Matrizenmultiplikation Gleichheit Folgerung

Question

Seien A,B,C reele Matrizen, A & C der Grösse (n x m) und B der Grösse (m x n). Hierbei ist die Nullmatrix in allen Fällen ausgeschlossen und A und C sind nicht zwingend invertierbar.

Falls   A = ABA = ABC  &   C = CBC = CBA  gilt,

folgt dann auch A = C ?

Answer 1

Das gilt nicht.

Betrachte \(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\), \(B=I_2\) und \(C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\).

Answer 2

Hier könnte eine Widerspruchsbeweis funktionieren.

Annahme: $$ A \neq C $$

$$ => CBA \neq CBC $$

Comments

Nette Idee. Leider Unsinn

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Selbst ein korrekter Widerspruchsbeweis würde doch generell nur dann funktionieren, wenn die Behauptung A=C richtig wäre, was sie aber nicht ist, wie ein enfaches Gegenbeispiel sofort zeigt.