Matrix symmetrisch und nilpotent, dann A=0

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M(n×n;R) symmetrisch und nilpotent. Zeigen Sie, dass dann A = 0 gilt.

Problem/Ansatz:

Diesbezüglich habe ich schon erste Ideen gesammelt.

A ist symmetrisch, wenn =^
A ist nilpotent, wenn es ein  ∈ , so dass ^=0

Wir wissen, dass A nilpotent ist, also existiert ein k, so dass ^=0
Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass
k die kleinste natürliche Zahl ist, für die ^=0
Das heißt ^(-1)≠0, aber A^k =0.

Da A symmetrisch ist, gilt auch ^=
Wir betrachten die Eigenwerte von A. Sei λ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor v. Dann gilt:
Av=λv

Ist dies zunächst überhaupt ein richtiger Gedankengang? Ich bitte um Hilfe. Danke im Voraus.

Answer 1

Das geht direkt über die Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen Matrix. Da \(A\) nilpotent ist, hat \(A\) nur den Eigenwert 0. Wie sieht dann die Zerlegung \(A=PDP^T\) aus und was folgt daraus unmittelbar für \(A\)?

Comments

Da A symmetrisch ist, kann sie orthogonal diagonalisiert werden. Es existiert eine orthogonale Matrix P und eine Diagonalmatrix D mit: A=PDP^T, wobei die Diagonaleinträge von
D die Eigenwerte von A sind. Da alle Eigenwerte λ=0 sind, ist D=0

Schlussfolgerung:

A=PDP^T=P0P^T =0

Somit haben wir gezeigt, dass A=0 ist.

So ungefähr?

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Genau, es muss \(D=0\) sein und aus der Zerlegung folgt dann sofort, dass auch \(A=0\) ist. Sehr gut.

Answer 2

Eine nilpotente Matrix hat 0 als einzigen Eigenwert und eine symmetrische Matrix ist diagonalsierbar.