Steckbriefaufgabe Polynomfunktion 3. Grades mit W(1,16). GeoGebra

Question

komme bei meiner Hausübung leider nicht weiter

Wie lautet die Gleichung der Polynomfunktion 3. Grades, deren Maximum an der Stelle x = -1 liegt, die den Wendepunkt W(1, 16) hat und die x-Achse bei x = 0 schneidet?

Bitte gib auch die Gleichung der Wendetangente an.

Ich hoffe jemand von euch kann es mir erklären :/

Answer 1

Hi,


aus dem Text kannst Du folgende Informationen ziehen:

f'(-1)=0

f(1)=16

f''(1)=0

f(0)=0


Und damit ergibt sich das Gleichungssystem zu:

3a - 2b + c = 0

a + b + c + d = 16

6a + 2b = 0

d = 0


Damit wäre das dann f(x) = -16/11*x^3+48/11*x^2+144/11x

Nun Ableitung bilden und an der Stelle x = 1 auswerten:

f'(1) = 192/11

Das entspricht der Steigung und man braucht nur noch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. W einsetzen:

y = mx+b mit m = 192/11 und W(1|16)

16 = 192/11*1 + b

b = 16-192/11 = -16/11


Die Wendetangente lautet also: y = 192/11 - 16/11


Grüße

 

Nachtrag: Hier wäre bei x = -1 allerdings ein Minimum. Immerhin ein Extremum, aber kein Maximum. Ein Maximum kann hier gar nicht liegen, da der Wendepunkt bei (1|16) ist und wir aber durch den Ursprung gehen!

Answer 2

  f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c *x + d
  f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
  f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

Wie lautet die Gleichung der Polynomfunktion 3. Grades, deren Maximum an der Stelle x = -1 liegt, die den Wendepunkt W(1, 16( hat und die x-Achse bei x = 0 schneidet?

Ich ziehe die Aussage
f ( 0 ) = 0   => d = 0
einmal vor.

Sonstige Angaben
f ´( -1 ) =  3 * a * x^2 + 2 * b * x + c = 0
f ´´( 1 ) = 6 * a * x + 2 * b = 0
f ( 1 ) = a * x^3 + b * x^2 + c *x  = 16

Damit hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Damit müsstest du ein Ergebnis für a,b,c herausbekommen.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.
Bin gern weiterhin behilflich.

mfg Georg

Comments

wie kannst du aus dem text lesen, dass die erste ableitung deren maximum ist?

oder dass der wendepunkt nur f ( 1 ) ist?

ich lese es sehr schwer heraus :/

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Du meinst hier:

f ´( -1 ) =  3 * a * x² + 2 * b * x + c = 0
f ´´( 1 ) = 6 * a * x + 2 * b = 0
f ( 1 ) = a * x³ + b * x² + c *x  = 16

und kannst dann an den Stellen von x gleich noch die Werte 1 resp. -1 einsetzen.

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Du wolltest deine Frage sicher an den anderen Antwortgeber
stellen. mfg Georg

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@LU

habe ich auch schon korrigiert. Deine Methode
das Gleichungssystem direkt mit den x-Werten
aufzustellen ist eleganter und übersichtlicher.
Ich muß mal schauen ob mir das auch gelingt.

mfg Georg

Answer 3

Und OB ich das kann. Nur - warum liesest du nicht die verwandten Fragen? Ich werde hier schon zum Prediger.

Was euch die Lehrer systematisch verheimlichen.

Was nicht im Internet steht - worauf es aber alleine ankommt. Es ist alleine MEINE Leistung; und alle, die wirklich was können, rümpfen wieder die Nase

" Dafür gibt es noch lange keine Fieldsmedaille; leistense dochmal was richtiges ... "

" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

Du die sind sowas von Fantasie los. Diktat für das Regelheft.

" Alle Kurven 3. Grades verlaufen PUNKT SYMMETRISCH zu ihrem WP. "

Hier steht: " Gestalte deine Antwort so plausibel wie möglich. "

Du hast verstanden: Es gibt da 3 kritische Punkte; Maximum, Minimum und WP. Und was dir eben keiner gesteckt hat: Wenn du 2 hast, hast du automatisch auch den dritten. Das ist echt ein Zaubertrick; damit kannst du deinen Lehrer allemal verblüffen.

x ( max ) = ( - 1 ) ; x ( w ) = 1     ( 1a )

Jetzt das Maximum am WP spiegeln:

x ( min ) = 3    ( 1b )

Es ist deshalb so wichtig, beide Extrema zu haben, weil du damit von Vorn herein beide Nullstellen der ersten ableitung hast.

f ' ( x ) = k ( x + 1 ) ( x - 3 ) = k ( x ² - 2 x - 3 )   ( 2a )

Durch systematisches Nachdenken habe ich erreicht, dass mein Ansatz nicht mit 4 Unbekannten startet, sondern nur mit einer. Was ist zu tun? " aufleiten " , ===> Stammfunktion ===> Integral ( doch das schaffst du. )

f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ² - 3 x ) + C   ( 2b )

k heißt ===> Leitkoeffizient und C ===> Integrationskonstante ( " Offset " ; " Verschieber " ) ( C verschwindet übrigens; warum? )

Damit enthält ( 2b ) bereits die wesentliche Antwort, wie unser Lösungspolynom heißt. Du siehst doch sicher: In wirklichkeit ist dieses k voll bedeutungslos

Was bewirkt k rein anschaulich?

Durch welche Info kannst du es dir beschaffen?