Suche Polynomfunktion vierten Grades mit Wendepunkten A(1/0)und B(-1/0)

Question

Die Punkte a(1/0)und b(-1/0) sind Wendepunkte des Graphen der Funktion f der vierten Grades. Bestimme alle Schnittpunkte dieser Kurve mit der x- Achse.. sowie die Extremalpunkte.  Danke für alle Hilfe

Answer 1

Die Punkte \(A(1|0)\)und \(B(-1|0)\) sind Wendepunkte des Graphen der Funktion f vierten Grades.

Die Wendepunkte sind auch Nullstellen.
Weiter liegt Symmetrie mit der y-Achse vor.
\(f(x)=a\cdot(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)=a\cdot[(x^2-1)(x^2-N^2)]\)
\(f'(x)=a\cdot[2x(x^2-N^2)+(x^2-1)\cdot 2x]=a\cdot[2x\cdot(2x^2-N^2-1)]\\=a\cdot[4x^3-2xN^2-2x)]\)

\(f''(x)=a\cdot[12x^2-2N^2-2)]\)
\(f''(1)=a\cdot[12-2N^2-2)]=a\cdot[10-2N^2)]=0\)
\(N^2=5\)
\(f(x)=a\cdot(x^2-1)(x^2-5)\)
Nullstellen sind bei \(x=- \sqrt{5} \), \(x=- 1 \)  \(x= 1 \)   und  \(x= \sqrt{5} \)

Extremwerte:
\(f'(x)=a\cdot[4x^3-12x]\)
\(f'(x)=a\cdot[4x^3-12x]=0\)
\(x_1=0\)      \(f(0)=a\cdot[(0-1)(0-5)]=5a\)
Art des Extremwertes:
\(f''(0)=a\cdot[-12]\)
1.Fall \(a>0\)   Maximum
2.Fall \(a<0\)  Minimum

\(x_2=\sqrt{3}\)     \(f(\sqrt{3})=a\cdot(3-1)(3-5)=-4a\)
Art des Extremwertes:
\(f''(\sqrt{3})=a\cdot[12\cdot3-12)] =24a \)
1.Fall \(a>0\)  Minimum
2.Fall \(a<0\)  Maximum

Answer 2

Ist die erste und zweite Bedingung
f''(1)=0
f''(-1)=0

?
und wie lauten die anderen drei notwendigen Bedingungen?