nxn Determinantenformel beweisen

Question

Ich sollte die Determinante der Matrix T im allgemeinen bestimmen. Ist mein Vorgehen hier korrekt? (Die Formel ist korrekt, kenne ich bereits, es geht mir um meinen Ansatz, wie ich dahin kam, ob der hier passt)

Text erkannt:

c) \( T=\left(\begin{array}{cccccc}a & b & b & b & \ldots & b \\ b & a & b & b & \cdots & b \\ b & b & a & b & . & b \\ b & \vdots & \vdots & & & \\ b & b & b & b & \ldots & a\end{array}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n} \) mit \( (a, b) \in \mathbb{K}^{2} \)
i-k Spalken-kSpalk
\( \forall i=1, \ldots n \)
Xdamn (-1) (n-n)tes Sale \( +j- \) e spalk \( \forall j=1, \ldots, n+2 \)

Answer 1

Das Vorgehen ist in Ordnung, da deine Zeilen- und Spaltenumformungen die Determinante nicht verändern.

Wozu betrachtest du den Fall \(a=b\)? Man kann dann auch ohne Umformung sofort sehen, dass die Determinante 0 ist, da es linear abhängige Zeilen bzw. Spalten gibt.

Comments

Ja ich hatte ja a≠b angenommen, deswegen habe ich es nochmal gemacht. Ist ja aber eigentlich trivial :)

Habe übrigens einen Fehler bei der zweiten Umformung auf die dritte Matrix gemacht. Habe es nochmal korrigiert:

Beim davorigen hätte nämlich noch überall das b-a bei der (n-1)-ten Zeile gestanden

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Den letzten Schritt kann man sich auch sparen, wenn man dann nach der letzten Spalte entwickelt.

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Stimmt das geht auch. Habe hier gar nicht daran gedacht :D

Ich danke Dir!