Aloha :)
Eine Partialbruchzerlegung ist hier möglich, du kannst den Integranden aber auch direkt umformen, etwa so:$$I=\int\frac{2x-1}{x^2+4x+4}\,dx=\int\frac{2x\pink{-1}}{(x+2)^2}\,dx=\int\frac{(2x\pink{+4})\pink{-5}}{(x+2)^2}\,dx$$$$\phantom I=\int\frac{2x+4}{(x+2)^2}\,dx-\int\frac{5}{(x+2)^2}\,dx=\int\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}\,dx-\int\frac{5}{(x+2)^2}\,dx$$$$\phantom I=2\cdot\int\frac{1}{x+2}\,dx-5\cdot\int\frac{1}{(x+2)^2}\,dx$$
Diese biden Terme kannst du leicht integrieren, da die innere Ableitung von \((x+2)\) gleich \(1\) und damit konstant ist. Gemäß der Regel "Äußere Ableitung durch konstante innere Ableitung" gilt dann:$$I=2\cdot\ln|x+2|+\frac{5}{x+2}+C$$