Integral von Bruch bestimmen

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \int \frac{2 x-1}{x^{2}+4 x+4} \mathrm{~d} x= \left[2 \ln |x+2|+\frac{5}{x+2}\right]$

Problem/Ansatz:

Hallo, könnte mir hier jemand bitte erklären, wie man auf das Ergebnis kommt? Ich hätte evtl eine partialbruchzerlegung durchgeführt, aber da komme ich nicht auf das Ergebnis. LG

Answer 1

$$\int \frac{2 x-1}{x^{2}+4 x+4} \mathrm{~d} x = \int \frac{2\cdot\left(x+2\right)-5}{\left(x+2\right)^2} \mathrm{~d} x = \dots$$

Answer 2

Aloha :)

Eine Partialbruchzerlegung ist hier möglich, du kannst den Integranden aber auch direkt umformen, etwa so:$$I=\int\frac{2x-1}{x^2+4x+4}\,dx=\int\frac{2x\pink{-1}}{(x+2)^2}\,dx=\int\frac{(2x\pink{+4})\pink{-5}}{(x+2)^2}\,dx$$$$\phantom I=\int\frac{2x+4}{(x+2)^2}\,dx-\int\frac{5}{(x+2)^2}\,dx=\int\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}\,dx-\int\frac{5}{(x+2)^2}\,dx$$$$\phantom I=2\cdot\int\frac{1}{x+2}\,dx-5\cdot\int\frac{1}{(x+2)^2}\,dx$$

Diese biden Terme kannst du leicht integrieren, da die innere Ableitung von $(x+2)$ gleich $1$ und damit konstant ist. Gemäß der Regel "Äußere Ableitung durch konstante innere Ableitung" gilt dann:$$I=2\cdot\ln|x+2|+\frac{5}{x+2}+C$$

Answer 3

Hi,

das sieht verdächtig danach aus, dass die Ableitung des Nenners im Zähler zu finden ist. Noch nicht ganz, aber das machen wir uns passend.

$$\int \frac{2x-1}{x^2+4x+4} \; dx= \int \frac{2x+4}{x^2+4x+4} - \frac{5}{x^2+4x+4}\; dx$$

Du siehst es nun? Wie es weiter zu gehen hat?

Partialbruchzerlegung macht man nur, wenn der Zählergrad größer dem Nennergrad ist. Das ist hier nicht der Fall.

Grüße

Comments

Vielen Dank, aber wie komme ich bei der Lösung dann auf die (x+2) im Nenner?

LG

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Das ist eine der binomischen Formeln.

x²+4x+4 = (x+2)²

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Partialbruchzerlegung macht man nur, wenn der Zählergrad größer dem Nennergrad ist

Das wäre mir zu einschränkend. In so einem Fall empfehle ich stattdessen Polynomdivision.

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point taken (y)

Answer 4

2x-1 = 2x+4-5

Teilintegrale bilden: ∫(2x+4)/(x²+4x+4) dx - ∫ 5/(x²+4x+4)dx

(2x+4)/(x²+4x+4)

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners.

Denke an:

f(x) = lng(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x) , so kommst du auf den ln.

Zum 2. Integral:

x²+4x+4 = (x+2)²

Das lässt sich leicht integrieren.

https://www.integralrechner.de/

Comments

Sogar $(x+2)^{-2}$ lässt sich leicht integrieren.

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Danke für den Hinweis auf das vergessene MINUS-Zeichen.

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Jetzt ist es falsch. Das war vermutlich nicht die Intention von abakus.

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Danke, ich war schlampig. Ich wollte nur auf den Nenner hinaus.