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Ich habe schon etwas das Internet durchforstet aber habe leider keinen Beweis dazu gefunden. Ich weiß das man das selbstverständlich in der Angewandten Mathematik vernachlässigt aber gibt es Möglichkeiten durch Iterationen den Fehler zu bestimmen. Würde mich interessieren oder gibt es schon einen Mathematiker der das Problem erforscht hat?


1 = 1/3+1/3+1/3

1 = 0.3Periode+0.3Periode+0.3Periode

1= 0.9Periode


Lg

Also falls es schon eine Berechnung dazu gibt oder whatever gerne in die Kommentare :))

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1/3 + 1/3 + 1/3 = (1+1+1)/3 = 3/3 =1

Das ist doch einfachste Bruchrechnung mit HN-Bildung.

0,333.... ist definiert als 1/3.

0,333... entsteht doch erst, wenn man 1 durch 3 teilt.

In welchem Kontext brauchst du das? Was meinst du hier mit Itineration?

Unendlichkeit ist etwas, dass die reale Welt nicht kennt. Man kann weder unendlich viele Zahlen aufschreiben, noch unendlich viele Zahlen addieren. Symbole bedeuten nichts, bis man sie definiert.

Insofern muss auch \( 0.\bar{9} \) ein abstrakt definiertes Symbol sein. In der Welt der Standardanalysis definieren wir dieses Symbol z.B. so:

$$ 0.\bar{9} = 0.999... := \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dotsm := \sum_{i=1}^\infty \frac{9}{10^i} := \lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^N \frac{9}{10^i} $$

indem wir für die Definition den Grenzwertbegriff, den uns die Standardanalysis an die Hand gibt, nutzen. In dieser Theorie gilt:

$$ 0.\bar{9} = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^N \frac{9}{10^i} = 1 $$ $$ 0.\bar{3} = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^N \frac{3}{10^i} = \frac{1}{3} $$

Die Frage, ob \( 1 = 0.\bar{9} \) ist, hat keinen Bezug zur realen Welt. Es ist eine Frage, die man sich innerhalb einer mathematischen Theorie stellen kann, in der die Bedeutung der Symbole definiert ist, in der Unendlichkeit eine Bedeutung bekommt. In der Theorie der Standardanylsis gelten die obigen Identitäten. Man kann ihre Gültigkeit INNERHALB dieser Theorie formal beweisen.

Man kann aber durchaus auch andere mathematische Theorien bauen (Nicht-Standardanalysis), die ähnliches leisten, aber einfach anders funktionieren. Hier muss dann keineswegs mehr \( 0.\bar{9} = 1 \) sein. Einfach, weil sich dann die Bedeutung der Symbole verändert hat. Da man immer noch eine Approximation der Realität erreichen möchte, sollte \( 0.\bar{9} \) und \( 1 \) in solchen Theorien natürlich irgendwie "sehr, sehr ähnlich" sein, aber sie müssen eben nicht mehr zwingend formal identisch sein.

Sehr interessant. Danke für deine Ausführungen.

Was banal erscheint, hat einen komplexen theoretischen Hintergrund.

Ich denke dabei gerade an den Beweis, dass 1+1 = 2 gilt.

Wie es der Zufall will, habe ich gestern Abend eine Tafel Schokolade gegessen und mir diese dafür in Drittel aufgeteilt.

Nun ist es leider so, dass beim Teilen immer ein paar Krümel Schokolade abfallen. D.h.

1/3 + 1/3 + 1/3 ist tatsächlich etwas weniger als eine ganze Schokolade.

Traurig aber wahr.

Wenn man einen Baumstamm von exakt 10 m Länge in genau 10 gleich lange Stücke zersägt ist auch nicht jedes Teil exakt 1 m lang.

Sowas gilt nur in Mathebüchern.

Wie es der Zufall will, habe ich gestern Abend eine Tafel Schokolade gegessen

Ob das gesund ist?

Sowas gilt nur in Mathebüchern.

Von denen mancher manche gerne zersägen würde. :)

Nun ist es leider so, dass beim Teilen immer ein paar Krümel Schokolade abfallen

Finger nass machen und auftupfen. So geht nichts verloren.

Falls es ein Sonderangebot war, tut's noch weniger weh. :)

Ich sehe z.Z. oft Rittersport im Angebot in den Werbezusendungen, manchmal auch Milka.

2 Antworten

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Gibt es dazu einen Satz? Also wer behauptet das ?

Rechne doch mal selber folgendes:$$\begin{aligned} 0,\overline{9} &= x &&|\, \cdot 10 \\ 9,\overline{9} &= 10x &&|\, (2)-(1) \\ 9,\overline{9} - 0,\overline{9} &= 10x-x\\ 9 &= 9x &&|\, \div 9 \\ 1 &= x\end{aligned}$$Ich habe nichts gemacht außer die Grundrechenarten anzuwenden.

Avatar von 48 k
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Zwei Zahlen sind exakt gleich, wenn es keine Zahl gibt die dazwischen liegt daher ist 0 Komma Periode 9 exakt gleich Eins.

Avatar von 487 k 🚀

Gibt es dazu einen Satz? Also wer behauptet das ? Ich glaube dir das schon aber ich bin da durch Zufall drauf gekommen und finde irgendwie im Internet nichts.

Lg Danke für deine schnelle Antwort

Diesen Satz kann man beweisen. Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten.

Du wirst mir sicher zustimmen, dass

1/3 + 1/3 + 1/3 auch 3/3 sind

und auch zustimmen, dass

3/3 auch 1 Ganzes ist.

Es gibt auch einen weiteren Satz.

Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.

Wenn also a und b zwei verschiedene rationale Zahlen sind, dann ist z.B. (a + b)/2 eine weitere rationale Zahl, die zwischen diesen beiden Zahlen liegt.

Wenn also \(0. \overline 9 \) und 1 verschieden sind, dann müsste man auch eine Zahl nennen können, die zwischen diesen beiden liegt.

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