Hi, ich hatte mal diese Frage hochgeladen. Jedoch hatte ich damals keinen Ansatz. Jetzt habe ich einen :).
Aufgabe:
Betrachtet man C[a,b], den R-Vektorraum aller stetigen Funktionen f: [a,b] -> R, den wir mit der Supremumsnorm versehen und eine Teilmenge
X := {f ∈ C[a,b] : f(a) ∈ ℚ ∩ (0,1)} ⊂ C[a,b].
Problem: Nun wollen wir zeigen, das das Innere von X, die leere Menge ist.
Beweis.
Dazu nehmen wir ein f ∈ X beliebig. Wir nehmen an, das Innere wäre nicht-leer. D.h. wir müssen irgendeine offene Menge N ⊂ X finden. Sei N eine offene Menge in X und f ∈ N. Da N offen ist, muss für ein ε > 0 die Umgebung zu f, in N komplett enthalten sein, d.h.
U := B_ε (f) = {g ∈ C[a,b] : ||g-f||_sup < ε} ⊂ N.
Es gilt dann für ein g ∈ U:
ε > ||g-f||_sup = sup{|g(x)-f(x)| : x ∈ [a,b]} ≥ |g(x)-f(x)|. Also |g(x)-f(x)| < ε für alle x ∈ [a,b]. D.h. also g(x) ∈ (f(x)-ε,f(x)+ε) für alle x ∈ [a,b]. Insbesondere damit auch
g(a) ∈ (f(a)-ε,f(a)+ε). Das heisst vorallem, das g(a) auch irrational sein kann. Wir können also g so wählen, sodass g(a) irrational ist. Z.B. man wählt g als g(x) := f(x)-ε/π (g ist stetig, wegen f). Dann gilt nämlich
||g-f||_sup = sup{|f(x)-g(x)| : x} = ε/π < ε, also g ∈ U, aber da
g(a) = f(a)-ε/π ∈ (f(a)-ε,f(a)+ε) offensichtlich irrational ist, gilt damit NICHT g ∈ X. Also kann U ⊂ X nicht gelten & das ist ein Widerspruch zur Annahme. Daraus folgt die Behauptung.
Habe ich das richtig?