Topologie von Funktionenmengen aus stetigen Funktionen

Question

Hi, ich hatte mal diese Frage hochgeladen. Jedoch hatte ich damals keinen Ansatz. Jetzt habe ich einen :).

Aufgabe:

Betrachtet man C[a,b], den R-Vektorraum aller stetigen Funktionen f: [a,b] -> R, den wir mit der Supremumsnorm versehen und eine Teilmenge
X := {f ∈ C[a,b] : f(a) ∈ ℚ ∩ (0,1)} ⊂ C[a,b].

Problem: Nun wollen wir zeigen, das das Innere von X, die leere Menge ist.
Beweis.
Dazu nehmen wir ein f ∈ X beliebig. Wir nehmen an, das Innere wäre nicht-leer. D.h. wir müssen irgendeine offene Menge N ⊂ X finden. Sei N eine offene Menge in X und f ∈ N. Da N offen ist, muss für ein ε > 0 die Umgebung zu f, in N komplett enthalten sein, d.h.
U := B_ε (f) = {g ∈ C[a,b] : ||g-f||_sup < ε} ⊂ N.
Es gilt dann für ein g ∈ U:
ε > ||g-f||_sup = sup{|g(x)-f(x)| : x ∈ [a,b]} ≥ |g(x)-f(x)|. Also |g(x)-f(x)| < ε für alle x ∈ [a,b]. D.h. also g(x) ∈ (f(x)-ε,f(x)+ε) für alle x ∈ [a,b]. Insbesondere damit auch
g(a) ∈ (f(a)-ε,f(a)+ε). Das heisst vorallem, das g(a) auch irrational sein kann. Wir können also g so wählen, sodass g(a) irrational ist. Z.B. man wählt g als g(x) := f(x)-ε/π (g ist stetig, wegen f). Dann gilt nämlich
||g-f||_sup = sup{|f(x)-g(x)| : x} = ε/π < ε, also g ∈ U, aber da
g(a) = f(a)-ε/π ∈ (f(a)-ε,f(a)+ε) offensichtlich irrational ist, gilt damit NICHT g ∈ X. Also kann U ⊂ X nicht gelten & das ist ein Widerspruch zur Annahme. Daraus folgt die Behauptung.

Habe ich das richtig?

Answer 1

Von der Idee her ok, von der logischen Abfolge durcheinander.
Es fängt nicht mit beliebigem \(f\) an.

Der richtige Anfang: Beweis: Indirekt, angenommen es gibt einen inneren Punkt \(f\in X\).

"Wir müssen ein N finden,... . Sei also N...": Was denn nun? Wir müssen finden und nehmen an, wir haben schon eines?

Weiter im richtigen Beweis: Da \(f\) innerer Punkt ist, gibt es also eine offene Menge \(N\) usw. \(U:=B_\epsilon(f)\subset N\).

"Es gilt dann für ein \(g\)...": Für welches \(g\) denn?

Weiter: Wir definieren(!) nun \(g(x):=...\).

Da mach mal weiter. Bleibe streng bei der logischen Abfolge.

Comments

Beweis. Sei N ⊂ X eine offene Menge in X und f ∈ N ein innerer Punkt. Da N offen ist, muss gelten: U := B_ε (f) = {g ∈ C[a,b] : ||g-f||_sup < ε} ⊂ N. Sei g ∈ U beliebig. usw der Rest …

So richtig mit dem restlichen Ansatz dann?

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"Sei N ⊂ X eine offene Menge in X und f ∈ N ein innerer Punkt. "

Nein, wieder falsche Reihenfolge. Ich hab Dir doch oben den richtigen Anfang hingeschrieben.

"...muss gelten: U := B_ε (f) ": Nein, es fehlt die Angabe zum \(\varepsilon\). Und bitte nichts mit "usw.".

"Sei g ∈ U beliebig." Auch das ist falsch und habe ich oben richtig gestellt.

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Beweis. Angenommen es gibt einen inneren Punkt f ∈ X. Da f ein innerer Punkt ist, gibt es eine offene Menge N ⊂ X. Da N offen ist, gibt es ein ε > 0 sodass U := B_ε (f) ⊂ N gilt. Wir definieren g(x) := f(x)-ε/π. Dann gilt ||g-f||_sup = sup{|g(x)-f(x)| : x ∈ [a,b]} = ε/π < ε und damit g ∈ U. Jedoch ist g(a) = f(a)-ε/π offentsichtlich irrational und damit ist g nicht in X. Also gilt U ⊂ X nicht und das ist ein Widerpruch zur Anname.

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Schon fast perfekt.

"gibt es eine offene Menge N ⊂ X": richtig wäre: "mit \(f\in N\subset X"\).

Rest ist gut.

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Super, dankeschön :)

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Mir fiel doch noch was ein: Das "offensichtlich irrational" ist nicht offensichtlich. Wenn \(\varepsilon\) irrational wäre, könnte \(g(a)\) doch wieder rational sein.

Also Ergänzung: o.B.d.A. \(\varepsilon \in Q\) (Übergang zu neuem kleinerem rationalen \(\varepsilon\), falls nötig). Dann ist \(g(a)\) irrational, da \(f(a)\in Q\), aber \(\varepsilon/\pi\notin Q\).

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Darf man denn Epsilon als rationale Zahl einschränken. Ich dachte Epsilon muss allgemein sein

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Ja, erstmal kann \(\varepsilon\) alles sein. Ich hab ja oben in Klammern erklärt, warum wir \(\varepsilon \in Q\) annehmen dürfen.

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Verstehe. Ich glaube in dem Fall ist ja auch nach der Existenz von dem ε gefragt und nicht, das man es für jedes beliebige zeigen muss.

Also dann nochmal:

Beweis. Angenommen es gibt einen inneren Punkt f ∈ X. Da f ein innerer Punkt ist, gibt es eine offene Menge N ⊂ X mit f ∈ N ⊂ X. Da N offen ist, gibt es ein ε > 0, o.B.d.A. sei ε ∈ Q, sodass U := B_ε (f) ⊂ N gilt. Wir definieren g als g(x) := f(x)-ε/π.

Dann gilt ||g-f||_sup = sup{|g(x)-f(x)| : x ∈ [a,b]} = ε/π < ε und damit g ∈ U. Jedoch ist g(a) = f(a)-ε/π offentsichtlich irrational, da f(a) ∈ Q aber ε/π wegen ε ∈ Q, irrational ist und damit ist g nicht in X. Also kann U ⊂ X nicht gelten und das ist ein Widerpruch zur Anname.

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Ok. Du weißt ja, dass man "o.B.d.A." nur schreiben darf, wenn man es auch verstanden hat?!

Wir können garantieren, dass ein \(\varepsilon\in \R\) existiert (mit Kugel um f in X). Dann tut es auch jedes kleinere \(\varepsilon\), darunter finden wir wg der Dichtheit von Q in R auch ein rationales. Also können wir o.B.d.A. annehmen, dass \(\varepsilon\) gleich rational ist.

Das solltest Du Dir genau klar machen und als Anfänger auch genau aufschreiben.

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Habe ich es jetzt richtig verstanden:

Wir haben ein reeles ε’ > 0, sodass B_ε’ (f) in X liegt. Dieses ε’ liegt in einem Konvergenzintervall (ε‘-λ,ε‘+λ).

Da dieses eine reele Teilmenge ist und Q in R dicht liegt, können wir ein rationales ε > 0 in (ε‘-λ,ε‘+λ) mit ε < ε’ finden (Besser gesagt: Wir können eine rationale Folge ε_n finden mit ε_n < ε‘ für alle n, die gegen ε‘ konvergiert, aber da diese ja rational ist, können wir irgendein Wert davon nehmen), dann gilt zugleich auch die Teilmengenbeziehung B_ε (f) ⊂ B_ε‘ (f) ⊂ X und wir können dann mit dem rationalen ε weiterarbeiten.

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Das verstehe ich jetzt nicht. Was für'n Konvergenzintervall? Hier konvergiert gar nichts und mit Folgen haben wir auch nichts zu tun. Und jetzt ein \(\lambda\)? Generell darf keine neue Größe in Beweisen aus heiterem Himmel auftauchen.
Mach Dir eine Skizze mit f, X, der einen Kugel mit unklarem Radius und darin die kleinerem mit rationalem Radius. Denk Dir ein paar Beispiel für das \(\varepsilon\) und finde dazu ein passendes rationales \(\varepsilon\).

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Zum Beispiel kann man Epsilon als die Eulersche Zahl wählen. Diese ist ja bekanntlich irrational. Nehmen wir mal das Intervall (a,b) mit a < 2 und b > e (e ist die Eulersche Zahl). In diesem Intervall, finden wir dann eine echt-rationale Folge die gehen e konvergiert. Beispiel x_n := (1+1/n)^n. Die ist für alle n rational, liegt in (a,b) und konvergiert gegen e. Übrigens ist sie für alle n auch kleiner als e. Sei also x_n ein beliebiges Folgenglied, so gilt dann x_n < e und x_n ∈ Q ∩ (a,b). D.h. wenn die Kugel mit Radius um e in X liegt, so tut es auch die Kugel mit Radius x_n, da die Kugel un Radius x_n eine Teilmenge von der Kugel mit Radius e ist.

Also allgemein, für jedes reele ε finden wir auch eine rationale Zahl, die nahe genug zu ε liegt und dessen Kugel dann auch komplett in der Kugel um ε sich enthalten ist.

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Nein. Siehe vorigen Kommentar. Die Dichtheit von Q in R ist bekannt (davon gehe ich aus).

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Ja die ist mir bekannt. Aber was genau war denn an meinem Beispiel falsch? Es geht doch darum, das man zu jeder reelen Zahl eine rationale Zahl annähern kann, welche immer existiert, da Q eben in R dich liegt, oder habe ich das falsch verstanden? Das obige sollte einfach ein Beispiel sein, das man zu jeder nicht unbedingt rationalen Zahl, wie z.B. die Eulersche Zahl, eine rationale Zahl findet

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Wenn Dir die Dichtheit klar ist und Du die benutzen willst, brauchst Du keine Folgen. Wie gesagt, wir haben hier nichts mit Folgen, Konvergenz und auch nichts mit Annähern zu tun.

Ich hab Dir oben diesen Schritt komplett hingeschrieben ("Wir können garantieren..."), mehr brauchst Du nicht. Aber verstehen solltest Du es.

Wenn Du es verstanden hättest, würdest Du sagen "Z.B. eps=pi, dann gibt es wg Dichtheit ein 0<eps_neu<eps in Q, fertig."

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Ja aber das genau meinte ich ja. Du sagst ja z.B. ε := π und das es dann ein ε_neu gibt, was rational ist und ε_neu < ε erfüllt. Das war auch genau meine Idee. Ich hatte ja ε‘ := exp(1) als Beispiel, wo man dann aufgrund der Dichtheit ein rationales ε < ε‘ findet und B_ε (f) ⊂ B_ε (f) ⊂ X gilt. Dann kann man eben mit dem rationalen direkt weiterarbeiten, da es die Aufgabe des reelen bzw. irrationalen alten Epsilons auch erfüllt. Also kann man auch ohnehin deswegen am Anfang das Epsilon als rational verifizieren.

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Ja genau. Du kannst es also auch ohne Folgen. Man kann das ganze auch ohne den Begriff "dicht" machen, das geht auch in der Schule: Finde eine positive rationale Zahl unterhalb einer vorgegebenen: Schneide die Dezimaldarstellung einfach nach der ersten Ziffer, die nicht 0 ist, ab.

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Ja das mit den Folgen sollte einfach dazu dienen, das man sich dem Epsilon immer beliebig nahe rational annähern kann. Aber ist im Prinzip ja für die Hauptaussage egal.

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Ich danke Dir nochmal!