Grenzwert eines Bruches hoch x ist gesucht.

Question

Aufgabe:

Ich benötige eure Hilfe bei einer kleinen Grenzwertaufgabe. Ich habe den Grenzwert mithilfe des Logarithmus berechnet, was jedoch sehr rechenintensiv war. Ich denke, es sollte einen viel einfacheren Weg geben, um das Problem zu lösen.

$$\lim\limits_{x\to\infty} \left( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x - 1} \right)^x$$

Problem/Ansatz:

Wäre nett, wenn mir jemand nur einen Schubs in die richtige Richtung geben könnte.

Answer 1

Aloha :)

Forme die Funktion vor der Grenzwertbildung ein wenig um:$$f(x)=\left(\frac{x^2\red{+x}\green{+3}}{x^2+2x-1}\right)^x=\left(\frac{(x^2\red{+2x}\green{-1})-(\red{x}\green{-4})}{x^2+2x-1}\right)^x=\left(1-\frac{x-4}{x^2+2x-1}\right)^x$$$$\phantom{f(x)}=\left(1-\frac{1}{\frac{x^2\red{+2x}\green{-1}}{x-4}}\right)^x=\left(1-\frac{-1}{\frac{(x^2\red{-4x})+(\red{6x}\green{-24})\green{+23}}{x-4}}\right)^x=\left(1-\frac{1}{\frac{x(x-4)+6(x-4)+23}{x-4}}\right)^x$$$$\phantom{f(x)}=\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^x=\frac{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^x\cdot\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{\red{6+\frac{23}{x-4}}}}{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{\red{6+\frac{23}{x-4}}}}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{x+\red{6+\frac{23}{x-4}}}}{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{\red{6+\frac{23}{x-4}}}}=\frac{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{x+6+\frac{23}{x-4}}}{\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{6}\cdot\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{\frac{23}{x-4}}}$$

Definiere nun \(y(x)\coloneqq x+6+\frac{23}{x-4}\) und erinnere dich an$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x$$Mit \(x\to\infty\) gilt nämlich auch \(y\to\infty\) und der Grenzwert des Zählers lautet:$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+6+\frac{23}{x-4}}\right)^{x+6+\frac{23}{x-4}}=\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{-1}{y}\right)^y=e^{-1}=\frac1e$$

Damit kennen wir den Grenzwert der Funktion:$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{\frac1e}{\left(1-0\right)^{6+0}\cdot(1-0)^0}=\frac{\frac1e}{1\cdot1}=\frac1e$$

Comments

Du zitierst eine Information über einen Grenzübergang in den natürlichen Zahlen und verwendest das für einn Grenzübergang in den reellen Zahlen. Das halte wenigstens für erwähnenswert.

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Gibt es noch andere Möglichkeiten?

Answer 2

$$\lim\limits_{x\to\infty} \left( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x - 1} \right)^x=\lim\limits_{x\to\infty} \left( \frac{(x^2 + 2x - 1) + (4 - x) }{x^2 + 2x - 1} \right)^x$$

Comments

Wie geht es dann weiter nach der Teilbruchbildung?

Was wird aus (4-x)/(x^2´+2x-1) ??

Answer 3

Berechne erst den logarithmus des Grenzwerts:

\(\ln((\frac{x^2+x+3}{x^2+2x-1})^x) = x\ln(\frac{x^2+x+3}{x^2+2x-1}) = \frac{\ln(\frac{x^2+x+3}{x^2+2x-1})}{x^{-1}}\)

Darauf ist die Regel von l'Hospital anwendbar (Typ \(\frac00\), beachte die Grenzwertregel für Polynom/Polynom). Also anwenden, sorgfältig rechnen und zusammenfassen, ergibt am Ende \(-1\).

Endergebnis also \(e^{-1}\).