AWP und maximale Lösung bestimmen

Question

Hi, der Prof bei mir hatte in der VL ein Beispiel zum Thema AWP und ihren maximalen Lösungen gemacht. Das Beispiel, s.u..

Mein Problem ist, warum das maximale Definitionsintervall für b > 0 dieses eine I_max und für b < 0 das andere I_max ist. Ich dachte maximale Lösung des AWP heisst, die grösste Definitionsmenge der Lösung, also die grösste Menge aller t, die man einsetzen kann. Das wäre doch hier gerade eigentlich unabhängig ob jetzt b positiv oder negativ ist, die Vereinigung der beiden. Beispiel wenn b = 1 > 0 ist, sagen wir mal das AWP ist x‘(t) = x(t)^2 mit x(1) = 1 = b. Diese hat ja die Lösung x(t) = 1/(2-t). Dann muss ja hier der maximale Definitionsbereich gerade alle reelen Zahlen ausser t = 2 sein, also (-inf,2) U (2,inf). Nach seiner Interpretation wäre es aber hier ja wegen b > 0,   (-inf,2). Das verstehe ich nicht.

Text erkannt:

\( x^{\prime}(t)=x(t)^{2}, x(a)=b \)
\( \operatorname{lsg}: x(t)=\frac{1}{c-t} \) allgennein
Vom AWP die (sg: \( x(t)=\frac{b}{b(a-t)+1} \)
Wenn \( b>0 \) ist, ist \( \left.I_{\max }=\left(-\infty, a+\frac{1}{b}\right)\right\} \)
\( \left.b<0 \Rightarrow l_{\max }=\left(a+\frac{1}{b}, \infty\right)\right\}_{0}^{C} \)

Text erkannt:

\( x^{\prime}(t)=x(t)^{2}, x(a)=b \)
(sg: \( x(t)=\frac{1}{c-t} \) allgemein
Vom AWP die (sg: \( x(t)=\frac{b}{b(a-t)+1} \)
Wenn
\( \left.\begin{array}{l} x_{0}>0 \text { ist, ist } l_{\max }=\left(-\infty, a+\frac{1}{b}\right) \\ x_{0}<0 \Rightarrow l_{\max }=\left(a+\frac{1}{b}, \infty\right) \end{array}\right\} \int \limits_{0} \)

Answer 1

Achte genau auf die Begriffe - ist ein Intervall oder eine Menge gesucht? Im Zusammenhang mit "maximal" sucht man ein Intervall (so weit die Lösung eben differenzierbar fortgesetzt werden kann), also ohne Lücken.

Und (-inf,2) U (2,inf ist eben kein Intervall. Daher ist in Deinem Beispiel (b > 0) das max. Intervall(!) eben (-inf,2) (denn x=1 muss ja enthalten sein).

Comments

Verstehe. Also hätte ich z.B. x(1) = -1 genommen, dann wäre die Lösung ja meine Lösung einfach x(t) = -1/t. Dann wähle ich in dem Falle (-inf,0) maximales Intervall, wo ja auch -1 enthalten ist. Wenn ich aber vom maximalen Definitionsbereich spreche, dann wäre es ja (-inf,0) U (0,inf). Aber die maximale Lösung bleibt

x: (-inf,0) -> R. Habe ich es richtig verstanden?

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Vermutlich schon. Aber in Deinem Beispiel wäre I_max=(0,inf) - damit 1 drin ist. Es geht doch um die x-Werte beim Defbereich.

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Okay ich glaube ich habe es doch nicht so ganz verstanden. Was hat b denn dann aber mit dem maximalen Intervall zu tun? Es geht ja in dem Fall um die a, die man einsetzt

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Beim Defbereich geht es um alle einsetzbaren Werte, nicht nur a. Bei allg. a,b ist I_max das, was in Deinem Foto angegeben ist. In beiden Fällen ist a in I_max. In Deinem Beispiel ist a=1, b=-1, gibt a+1/b=0, gibt I_max=(0,inf), siehe Foto.

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Verstehe. Dankeschön.

Answer 2

Beachte den Unterschied der Begriffe "maximales Definitionsintervall" und "maximale Definitionsmenge". Das maximale Intervall wird an der Singularität \(t=a+\frac{1}{b}\) unterbrochen. Ein Intervall ist aber zusammenhängend. Die von dir angegebene Definitionsmenge ist zwar richtig, stellt aber eben kein Intervall mehr dar, aufgrund der Unterbrechung an der Singularität.

Comments

Ja ich dachte damit ist hauptsächlich der maximale Definitionsbereich gemeint, also alles was ich in die Lösungsfunktion einsetzen kann.

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Wie gesagt, es gibt einen Unterschied zwischen Definitionsbereich und Definitionsintervall. Der Bereich muss nicht zusammenhängend sein, das Intervall schon. Der maximale Definitionsbereich wäre in der Tat die Vereinigung der beiden Teilintervalle.

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Ich danke Dir!