Hauptzweig des komplexen Logarithmus berechnen

Question

Aufgabe:

Komplexer Logarithmus

Problem/Ansatz:

Bestimme den Hauptzweig von \((\log i)^i\).

Answer 1

Der Hauptzweig ist \(\log(z)=\log(|z|)+\mathrm{i}\arg(z)\).

Es gilt also \(\log(\mathrm{i})=\log(|\mathrm{i}|)+\mathrm{i}\arg(\mathrm{i})\).

Kontrolle: \(\log(\mathrm{i})=\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\).

Berechne dann mit Hilfe der Exponentialfunktion \(\left(\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\right)^{\mathrm{i}}\).

Wie weit kommst du damit?

Comments

Also den ersten Teil habe ich auch so. Ich weiß nur nicht, wie sich \( (\frac{i\pi}{2})^i\) elegant ausrechnen lässt...

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Schreibe als Exponentialfunktion: \(a^x=\mathrm{e}^{\ln(a)x}\).

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$$\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{i}=\frac{i^i\cdot \pi^i}{e^{i\cdot \ln(2)}}=\frac{i^i\cdot \pi^i}{\sin(\ln(2))+i\cdot\cos(\ln(2))}$$

...sieht nicht viel besser aus :')

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Warum schreibst du auch nur den Nenner um und nicht den gesamten Bruch?

Answer 2

Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Rechnung, da du vermutlich noch wenig Erfahrung mit dem komplexen Logarithmus gesammelt hast:

Ich bezeichne den mehrwertigen komplexen Logarithmus mit \(\operatorname{Log}\) und den Hauptzweig mit \(\log\):

\(i = e^{i\left(\frac{\pi}2 + 2k\pi\right)} \Rightarrow \operatorname{Log}i = i\left(\frac{\pi}2 + 2k\pi\right) \stackrel{Hauptzweig\: k=0}{\Longrightarrow}\log i =i\frac{\pi}2\)

Die komplexe Potenz wird mithilfe des komplexen Logarithmus definiert. Damit ist die Potenz ebenfalls mehrwertig und es wird nach dem Hauptzweig der Potenz gefragt:

\(\left(i\frac{\pi}2\right)^i = e^{i\operatorname{Log}\left(i\frac{\pi}2\right)} = e^{i\left(\log \frac{\pi}2 + i\left(\frac{\pi}2 + 2k\pi\right)\right)} .= e^{i\log \frac{\pi}2 - \left(\frac{\pi}2 + 2k\pi\right)} \)

\( \stackrel{Hauptzweig\: k=0}{\Longrightarrow}\boxed{e^{-\frac{\pi}2}e^{i\log \frac{\pi}2}= e^{-\frac{\pi}2}\left(\cos\left(\log \frac{\pi}2\right) + i \sin\left(\log \frac{\pi}2\right) \right)}\)

Comments

Ich danke dir vielmals für die ausführliche Erklärung!!!