Reihen und Folgenkonvergenz

Question

Hi.

Gegeben war die Folge: $$ \left(\sqrt[k\:]{2}-1\right)^{k} $$ Gefragt war:

a) Bestimme den Grenzwert der Folge für \(k \rightarrow\infty\) mit \(k \ge 1\).

b) Entscheide, ob die zugehörige Reihe konvergiert.

Kann mir jemand helfen, da ich nicht weiss, wie ich hier vorgehen soll?

Answer 1

Hallo Tanja,

Ich gebe dir mal ein Tipp bei a). Es handelt sich um eine Nullfolge. Versuch mal den Ausdruck 2^(1/n) so nach oben abschätzen und eine majorante Folge zu finden, die auch gegen konvergiert. Tipp: 2^(1/2) ≤ 2 bringt nichts.

Bei b) kannst du z.B. das Wurzelkriterium nutzen.

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Hier eine Musterlösung von mir, mit der Du es vergleichen kannst.

Lösung:
Ich nutze mal n anstatt k, da ich dem mehr gewöhnt bin und Dich nicht verwirren möchte.

a)
Setze x(n) := (2^(1/n) - 1)^n. Für alle n ≥ 1 gilt 1 < 2^(1/n) ≤ 2. Also gilt 0 < x(n) ≤ 1 und damit |x(n)| = x(n).
Weiter gilt für alle n ≥ 2 die Abschätzung
2^(1/n) -1 ≤ sqrt(2)-1.
Daraus folgt |x(n)| = x(n) = [2^(1/n) - 1]^n ≤ [sqrt(2)-1]^n für alle n ≥ 2.
Da insbesondere 0 < sqrt(2)-1 < 1 gilt, ist

lim [sqrt(2)-1]^n = 0 und damit auch
lim x(n) = 0.

b)
Bilde die Folge (x(n))^(1/n) = 2^(1/n) - 1.
Dann gilt lim 2^(1/n) = exp(ln(2) lim 1/n) = exp(0) = 1, also lim (x(n))^(1/n) = 0 < 1. Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe absolut.

Comments

Aber du hast doch die Folge in a) nur nach oben abgeschätzt. Muss man nicht noch zusätzlich eine Abschätzung nach unten machen?

Und noch eine Sache: Wie kommst du auf lim 2^(1/n) = exp(ln(2) lim1/n) ?

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Weil die Folge bereits schon für alle n grösser als 0 ist und somit die konstante Nullfolge bereits eine untere Schranke davon ist.

Zu der Gleichheit: Das gilt wegen der Potenzregel für den Logarithmus Naturalis, also der Regel ln(x^p) = p ln(x).

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Dankeschön :)