Folgenkonvergenz und Funktionsgrenzwerte

Question

Ich sitz an ein paar Matheaufgaben. Diese letzte Aufgabe habe ich noch nicht gelöst, aber mein Kopf dampft zu sehr und ich kann mich nicht mehr konzentrieren :/. Es wäre mir eine große Hilfe, wenn mir ein paar nette Menschen helfen könnten :)

LG

Leider hat der Formeleditor in der ersten Aufgabe nicht funktioniert, hoffentlich versteht ihr es trotzdem :)

(1)

Für welche Funktionen ƒ : ℝ  → ℝ existiert $$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f\left( x \right)  } $$

Begründen Sie die Antwort unter Verwendung der Folgekonvergenzen (die Berechnung des Grenzwertes ist nicht gefragt).

a)

f(x) = $$\frac { 1 }{ 1+x } \quad \quad \quad falls\quad x\quad \neq \quad -1$$
$$0\quad \quad \quad \quad \quad falls\quad x\quad =\quad -1$$
x₀ = -1

b)

f(x) = $${ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad falls\quad x\quad <\quad 1$$
$$2-x\quad \quad \quad falls\quad x\quad \ge \quad 1$$
x₀ = 1


(2)
Bestimmen Sie die folgenden Funktionswerte (ohne Verwendung der Regel von de L'Hopital). Sie dürfen annehmen, dass die Grenzwerte existieren.

a) $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { x }^{ 3 }-\quad 2x\quad +\quad 1 }{ x\quad -\quad 1\quad  }  }$$
b) $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1\quad -\quad \sqrt { x\quad +\quad 1 }  }{ x\quad  }  } $$
c)$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ 2x\quad -\quad \sqrt { 4{ x }^{ 2 }\quad -\quad x }  } $$

Answer 1

Aufgabe 2:

zu a)

x^3 im Zähler und Nenner  ausklammern  und dann kürzen

Lösung:1

zu b)

Zähler und Nenner mit (1+√(x+1)) multiplizieren

Lösung : -1/2

zu c) Zähler und Nenner mit (2x +√(4x^2-x)) multiplizieren

Lösung : 1/4