Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion

Weiß jemand wo mein Fehler liegt in der Aufgabe, ich suche schon seit 20 min aber finde es nicht?

Comments

@döschwo

Bekommst man extra Punkte wenn man Markierungen macht?

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Nö. In dem Fall ist sie auch völlig unnötig. Ich nehme lieber eine handschriftliche Rechnung als irgendetwas Abgetipptes, was dann zu 99 % falsch ist, weil Klammern fehlen oder sonst irgendetwas nicht richtig gemacht wurde. Damit ist niemandem geholfen.

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Bekommst man extra Punkte wenn man Markierungen macht?

Nein. Und wenn man als Fragestellerin die bei der Eingabe der Frage rot umrandete Aufforderung

Text muss als Text eingegeben werden.

ignoriert, auch nicht.

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Wo siehst du hier einen Text, dass ist die Berechnung?

Handschriftlich oder per Tablet macht doch keinen Unterschied oder?

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Ich glaube nicht, dass man die Textualität einer Gleichung bezweifeln sollte.

Der Unterschied ist, eingegeben kann man leicht lesen und hingekritzelt nicht immer.

Answer 1

Die Funktionswerte der zweiten Ableitung sind nicht die Extremstellen. Die Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

Sortiere deine Aufzeichnungen, dann wird das auch klar.

Notwendige Bedingung: \(f'(x)=0\)

\(\ldots = 0 \)

 \(\Leftrightarrow x_1= \ldots\), \(x_2=\ldots\)

Hinreichende Bedingung: \(f'(x)=0 \land f''(x)\neq 0\)

1) \(f''(x_1)= \ldots > 0 \Rightarrow \mathrm{TP} \)

2) \(f''(x_2)= \ldots < 0 \Rightarrow \mathrm{HP} \)

y-Koordinaten:

1) \(f(x_1)=\ldots \Rightarrow \mathrm{TP}(x_1|f(x_1))\)

2) \(f(x_2)=\ldots \Rightarrow \mathrm{HP}(x_2|f(x_2))\)

Beachte, was ein bisschen Struktur und Ordnung für einen Unterschied macht!

Comments

Wenn man die Nullstelle von f'(x) in f''(x) einsetzten tut, sagt mir das nur ob das ein TIP und HOP ist oder, hat nix mir dem Y-Koordinate zutun oder?

Und um die Y-Koordinate vom Extrempunkte zu finden muss man immer die Nullstelle von f'(x) in f(x) einsetzten oder?

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Richtig. Mit den Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst du ja die Extremstellen, also die x-Koordinaten der Extrempunkte. Die Werte der zweiten Ableitung braucht man nur um die hinreichende Bedingung zu prüfen.

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Woran erkenne ich während der Berechnung, dass die Funktion kein Maximum und Minimum hat?

Wenn ich die Funktion ableite und die NS berechne sind das ja die x-Koordinaten aber was muss rauskommen, wenn die Funktion keinen HP oder TP hat?

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Ist dir das Vorzeichenwechselkriterium bekannt? Wenn kein Extremum vorliegt, dann gibt es in der ersten Ableitung um die Extremstelle keinen Vorzeichenwechsel.

Bspw. hat die Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle 0 einen Sattelpunkt. Es gilt \(f'(0)=0\) (notw. Bedingung erfüllt), aber \(f'(-1)=3(-1)^2 = 3=f'(1)\), das heißt die Steigung des Graphen ist vor und nach dieser Stelle positiv, also kann kein Extremum vorliegen.

Anmerkung: Falls auch \(f''(x)=0\) gilt, wie in diesem Fall, bedeutet das nicht automatisch, dass es auch ein Sattelpunkt ist. Betrachte dazu das Beispiel \(f(x)=x^4\), wo an der Stelle \(x=0\) ein Tiefpunkt vorliegt, aber \(f''(x)=0\) gilt.

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Bspw. hat die Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle 0 einen Sattelpunkt. Es gilt \(f'(0)=0\) (notw. Bedingung erfüllt), aber \(f'(-1)=3(-1)^2 = 3=f'(1)\), das heißt die Steigung des Graphen ist vor und nach dieser Stelle positiv, also kann kein Extremum vorliegen.

Bspw. hat die Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle 0 einen Sattelpunkt.

Das weiß man normalerweise nicht oder, dass dort ein Sattelpunkt ist, sondern muss es erst berechnen.

Ich hab noch zwei Fragen undzwar

1) Wenn nach der 1. Ableitungen die Nullstelle bei Null ist und wenn man 0 in die zweite Ableitung einsetzten tut und da ebenfalls 0 ist, muss man dann das VZW Kriterium machen um zu testen ob dort ein Maximum oder Minmum existiert?

2) Warum hast du genau -1 und 1 eingesetzt, hat das einen Grund oder kann man da jede Zahl einsetzten, um zu schauen ob ein VZW statt findet?

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Man sollte schon wissen, wir der Graph von \(f(x)=x^3\) aussieht.

Zu 1): Ja, wenn das hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung versagt, muss man einen VZW-Wechsel machen. Es gibt zwar auch ein Kriterium mit höheren Ableitungen, das wird aber in der Schule nicht behandelt.

Zu 2): Weil die Zahlen schön einfach sind. Du kannst natürlich auch -0,432901851 und 0,1320945875 nehmen. ;) Es dürfen nur keine weiteren Extremstellen dazwischen liegen.

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Es gibt zwar auch ein Kriterium mit höheren Ableitungen, das wird aber in der Schule nicht behandelt.

Kannst du da eventuell mehr sagen bzw. hast ein Link wo sodass nachlesen kann?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Hinreichende_Kriterien

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Kannst du dir bitte mal diesen Fall anschauen undzwar habe ich bei bei der Ableitubgsfunktion eine Doppelte NS bei 2 aber die zweite Ableitung = 0

Jetzt aber könnte ja trotzdem eine Extremstelle da sein und wie du es mir gesagt hast muss ich auf ein VZW schauen um die Extremstelle

Frage:

Die Mögliche Extremstelle liegt ja bei x = 2

Muss die Zahl welche ich jetzt einsetzten tue in der Nähe von der x = 2 sein z B. 1 und - 1?

Oder würde auch z .B 20 und - 20 gehen weil da ist ja eine sehr große Differenz zwischen den möglichen Extrema?

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Wegen der doppelten Nullstelle weißt du übrigens schon, dass die zweite Ableitung auch 0 ist.

Da es keine weiteren möglichen Extremstellen gibt, könntest du auch die Werte -20 und 20 nehmen. Das hätte aber keinerlei Vorteil. Wenn du weißt, dass es dort keine weiteren Extremstellen gibt, ist die Differenz egal, denn es kann kein weiterer Monotoniewechsel vorliegen.

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Okay, das wusste ich nicht wenn eine Doppelte NS existiert das die 2 Ableitung auch automatisch 0 ist.

Ich habe die Funktion mal im Internet eingegeben und da steht, daß eine NS bei x = 1 ist welche ich auch habe dann habe ich die Lösungsformel verwendet und bin auf einen Mathematischen Fehler gekommen (wurzel -3)

Aber im Internet sagt mit das die Funktion noch eine NS bei 5±iwurzel3/2 hat.

Warum kommt bei mir ein Error raus aber im interne nicht?

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Funktion im Internet falsch eingegeben?

Answer 2

Hallo.

Die Nullstellen von f sind nicht die Extremstellen. Ich mache es mal vor:

Gegeben ist die Polynom-Funktion f : |R —> |R,

f(x) := (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x. Die möglichen Extremstellen einer Funktion sind die Nullstellen ihrer ersten Ableitungsfunktion. Die Ableitung ist dann f’(x) = x^2 - x - 2. Wir suchen die x ∈ |R für die, die Ableitung f‘ verschwindet (Stichwort: Kritische Punkte von f). Wir setzen also 0 = f‘(x) = x^2 - x - 2.  Die Gleichung wird für x ∈ {-1,2} gelöst (Gelöst mit der quadratischen Lösungsformel). D.h. -1 und 2 sind Kandidaten für Extremstellen von f. Die Stelle -1 ist eine Maximalstelle von f , da f‘‘(-1) < 0 gilt und 2 ist eine Minimalstelle von f da f‘‘(2) > 0 gilt. Hierbei war die zweite Ableitung f‘‘(x) = 2x-1.

D.h. für x = -1 nimmt f sein Maximum an mit dem Wert f(-1) und für x = 2 nimmt f sein Minimum an mit dem Wert f(2).

Comments

Das meiste davon hat der FS doch schon...

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Ja, ich habe es nur gemacht, damit er es danach vergleichen kann.

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Etwas vergleichen, was er schon da stehen hat? Ergibt viel Sinn. ;)

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Ja, es sollte nur nochmal kompakter für den FS dort stehen.

Answer 3

Du hast die Extremstellen mit x = -1 und x = 2 richtig berechnet.

Warum weißt du bereits jetzt, dass an beiden Stellen Extrempunkte existieren und das eine ein Hoch- und das andere ein Tiefpunkt sein muss?

Wenn eine Funktion 3. Grades zwei Stellen mit einer ersten Ableitung gleich 0 besitzt, dann sind dieses wirkliche Extremstellen.

Auch was an den Stellen existiert, hast du mit der zweiten Ableitung richtig berechnet

f''(-1) = -3 < 0 → HP
f''(2) = 3 > 0 → TP

Nur die Funktionswerte, also die y-Koordinaten, sind verkehrt. Die y-Koordinaten bekommst du über f(x) wo du natürlich die Extremstellen für x einsetzen musst und nicht irgendwelche Funktionswerte der 2. Ableitung, welches ja "Krümmungswerte" sind, anhand denen wir sehen können, ob die Funktion an den Extremstellen rechts- oder linksgekrümmt ist. Denn anhand der Krümmung bestimmte man ja, welches der HP und welches der TP ist.

f(-1) = 7/6 → HP(-1 | 7/6)
f(2) = -10/3 → TP(2 | -10/3)

Comments

f(-1) = 7/6 → HP(-1 | 7/6)
f(2) = -10/3 → TP(2 | -10/3)

Was du z.B. auch selber überlegen könntest, ob bei einer Funktion 3. Grades, bei der du einen Hoch- und einen Tiefpunkt hast, der Punkt mit der höheren y-Koordinate immer der Hochpunkt ist.

Oben ist ja 7/6 > -10/3.