Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) die Formel
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{k} i}=\frac{2 n}{n+1} \)gilt.
Lösungsversuch: Kann man dass so machen? gibt es da nichts einfacheres?
\( \sum \limits_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \)
also:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} \)
Partialbruchzerlegung:
\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \)
\( 2 = A(k+1) + Bk \)
\( k = 0 \):
\( 2 = A(0+1) \implies A = 2 \)
\( k = -1 \):
\( 2 = B(-1) \implies B = -2 \)
Also:
\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \)
einsetzen:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \right) \)
Teleskopsumme:
\(= \left( 2 - \frac{2}{2} \right) + \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} \right) \)
bleibt übrig:
\( = 2 - \frac{2}{n+1} \)
\( = \frac{2(n+1)}{n+1} - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1} \)