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Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) die Formel
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{k} i}=\frac{2 n}{n+1} \)gilt.

Lösungsversuch: Kann man dass so machen? gibt es da nichts einfacheres?


\( \sum \limits_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \)
also:


\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} \)


Partialbruchzerlegung:
\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \)
\( 2 = A(k+1) + Bk \)
\( k = 0 \):
\( 2 = A(0+1) \implies A = 2 \)
\( k = -1 \):
\( 2 = B(-1) \implies B = -2 \)


Also:

\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \)

einsetzen:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \right) \)


Teleskopsumme:
\(= \left( 2 - \frac{2}{2} \right) + \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} \right) \)


bleibt übrig:
\( = 2 - \frac{2}{n+1} \)
\( = \frac{2(n+1)}{n+1} - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1} \)

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gibt es da nichts einfacheres?

Zumindest ist bei

Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) die Formel ... gilt

das Beweisverfahren der vollständigen Induktion auch ein sehr naheliegender Weg...

2 Antworten

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Beste Antwort

Für den Nachweis der Summe

∑ (k = 1 bis n) 2/(k·(k + 1)) = 2·n / (n + 1)

könnte man auch die vollständige Induktion benutzen

i.A.

∑ (k = 1 bis 1) 2/(k·(k + 1)) = 2·1 / (1 + 1) → wahr

i.S.

∑ (k = 1 bis n + 1) 2/(k·(k + 1))
= ∑ (k = 1 bis n) 2/(k·(k + 1)) + 2/((n + 1)·((n + 1) + 1))
= 2·n/(n + 1) + 2/((n + 1)·(n + 2))
= (2·n + 2)/(n + 2)
= 2·(n + 1)/((n + 1) + 1) --> wahr

Das spart einem die Partialbruchzerlegung. Wobei die hier ja auch nicht so schwer war.

Avatar von 487 k 🚀
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Ist alles richtig, auch gut aufgeschrieben.

Einfacher wüsste ich nicht. Das hier ist ja auch einfach, weil der Weg klar ist und einfach nur mit Standardmethoden (die Du eh kennen musst) gerechnet wird.

Avatar von 9,7 k

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