Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n die Formel...?

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) die Formel
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{k} i}=\frac{2 n}{n+1} \)gilt.

Lösungsversuch: Kann man dass so machen? gibt es da nichts einfacheres?

\( \sum \limits_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \)
also:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} \)

Partialbruchzerlegung:
\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \)
\( 2 = A(k+1) + Bk \)
\( k = 0 \):
\( 2 = A(0+1) \implies A = 2 \)
\( k = -1 \):
\( 2 = B(-1) \implies B = -2 \)

Also:

\( \frac{2}{k(k+1)} = \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \)

einsetzen:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \right) \)

Teleskopsumme:
\(= \left( 2 - \frac{2}{2} \right) + \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} \right) \)

bleibt übrig:
\( = 2 - \frac{2}{n+1} \)
\( = \frac{2(n+1)}{n+1} - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1} \)

Comments

gibt es da nichts einfacheres?

Zumindest ist bei

Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) die Formel ... gilt

das Beweisverfahren der vollständigen Induktion auch ein sehr naheliegender Weg...

Answer 1

Für den Nachweis der Summe

∑ (k = 1 bis n) 2/(k·(k + 1)) = 2·n / (n + 1)

könnte man auch die vollständige Induktion benutzen

i.A.

∑ (k = 1 bis 1) 2/(k·(k + 1)) = 2·1 / (1 + 1) → wahr

i.S.

∑ (k = 1 bis n + 1) 2/(k·(k + 1))
= ∑ (k = 1 bis n) 2/(k·(k + 1)) + 2/((n + 1)·((n + 1) + 1))
= 2·n/(n + 1) + 2/((n + 1)·(n + 2))
= (2·n + 2)/(n + 2)
= 2·(n + 1)/((n + 1) + 1) --> wahr

Das spart einem die Partialbruchzerlegung. Wobei die hier ja auch nicht so schwer war.

Answer 2

Ist alles richtig, auch gut aufgeschrieben.

Einfacher wüsste ich nicht. Das hier ist ja auch einfach, weil der Weg klar ist und einfach nur mit Standardmethoden (die Du eh kennen musst) gerechnet wird.