Vektor zu Spiegelebene Vorgehen

Question

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Aufgabe 11 (3 Punkte) Es sei \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die Spiegelung an einer Ebene \( E \), welche den Punkt \( P=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \) auf den Punkt \( \varphi(P)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \) abbildet.
(a) Bestimmen Sie den Mittelpunkt \( M \in \mathbb{R}^{3} \) der Strecke von \( P \) nach \( \varphi(P): M=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)
(b) Bestimmen Sie einen Vektor \( v \in \mathbb{R}^{3} \backslash\{0\} \), der senkrecht zur Spiegelebene \( E \) steht: \( v=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)
(c) Bestimmen Sie die Spiegelebene: \( E=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, y=2\right\} \)

Bei folgender Aufgabe komme ich leider nicht auf die b/c). Muss man bei solch einen Spiegelung einen Fixpunkt bestimmen?

LG

Answer 1

Aloha :)

Bei dieser Aufgabe geht es letztendlich darum, die Gleichung derjenigen Ebene zu ermitteln, die den Punkt \(P(1|4|0)\) auf den Punkt \(Q(1|0|0)\) spiegelt.

zu a) Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{PQ}\) muss ein Punkte der Spiegelebene sein, da die Punkte \(P\) und \(Q\) wegen der Spiegelung gleich weit von der Ebene entfernt sein müssen:$$\vec m=\frac{\vec p+\vec q}{2}=\frac{\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}{2}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad M(1|2|0)$$

zu b) Da die Spiegelung von \(P\) an der Ebene \(E\) senkrecht efolgt, müssen die Verbindungvektoren vom Punkt \(M\) zum Punkt \(P\) in der einen Richtung und vom Punkt \(M\) zum Punkt \(Q\) in der anderen Richtung senkrecht auf der Ebene stehen:$$\vec v=\overrightarrow{MP}=\vec p-\vec m=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$$

zu c) Wir kennen nun einen Punkt \(M(1|2|0)\) der Spiegelebene und einen Normalenvektor \(\vec v\) der Ebene. Wenn ein Punkt \(X\) in der Ebene liegt, muss der Verbindungsvektor vom Punkt \(M\) zu Punkt \(X\) ebenfalls in der Ebene liegen. Da der Normalenvektor \(\vec v\) senkrecht auf der Ebene steht, muss also das Skalarprodukt aus dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{MX}\) und dem Normalenvektor \(\vec v\) verschwinden.

$$0\stackrel!=\vec v\cdot \overrightarrow{MX}=\vec v\cdot\left(\vec x-\vec m\right)=\vec v\cdot\vec x-\vec v\cdot\vec m=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=2x_2-4$$Die gesuchte Ebenengleichung ist daher:$$E\colon x_2=2$$Die Spiegelebene liegt also parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und schneidet die \(x_2\)-Achse senkrecht bei \(x_2=2\).

Answer 2

Schau, dass es anschaulich verstehst, dann wird auch klar, was zu rechnen ist.

b) Die Ebene steht senkrecht auf dem Verbindungsvektor von \(P\) und \(\varphi(P)\).

c) Du kennst aus b) einen Normalenvektor der Ebene und aus a) einen Punkt. Der Rest ist Standardvorgehen.

Beachte, dass die Angaben in der Lösung nur jeweils eine von unendlich vielen richtigen Lösungen sind.

Comments

Für mich beste Antwort, weil die nötigen Ansätze geliefert und nicht vorgerechnet. +1

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Das stimmt. Ich bedanke mich natürlich für die Antwort und dass sich dafür Zeit genommen wurde. Wirklich verstanden, so dass ich es nochmals selbst rechnen könnte, habe ich es durch die andere Antwort.

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Ich frage mich immer, welchen Sinn das selbst rechnen hat, wenn es doch schon vorgerechnet wurde. Mit "selbst" hat das dann nicht mehr viel zu tun. Damit verarscht man sich eigentlich nur selbst. Aber gut, dass muss ja jeder für sich entscheiden. :)

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Und in der Klausur kommt dann die böse Überraschung und man ist verwundert, weil man doch vorher alle Übungsaufgaben "selbst" gerechnet hat. Ist wie mit der heißen Herdplatte - glaubt man auch erst, wenn man sich die Finger verbrannt hat.

Ich hätte dir die Lösung zugetraut. Schade.

Trotzdem viel Erfolg!

Answer 3

b)

Richtungsvektor von P nach φ(P)

[1, 0, 0] - [1, 4, 0] = [0, -4, 0]

Hiervon kannst du ein beliebiges Vielfaches Nehmen.

- 1/4 * [0, -4, 0] = [0, 1, 0]

c)

Für die Ebene brauchst du den Stützvektor M und den Normalenvektor v.

(X - M) * v = 0
X * v - M * v = 0
X * v = M * v
[x, y, z] * [0, 1, 0] = [1, 2, 0] * [0, 1, 0]
y = 2